Страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

573 ВЫЧИСЛЯЕМ ПО ФОРМУЛЕ Выпишите первые шесть членов последовательности, если:

а) $x_1 = 7, x_{n+1} = 10x_n;$

б) $a_1 = -10, a_{n+1} = \frac{1}{a_n};$

в) $c_1 = 0, c_2 = 1, c_n = c_{n-2} - c_{n-1}$, где $n \ge 3;$

г) $b_1 = -1, b_2 = -2, b_n = \frac{b_{n-2}}{b_{n-1}}$, где $n \ge 3.$

а) Последовательность задана первым членом $x_1 = 7$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = 10x_n$, которая определяет каждый следующий член через предыдущий. Чтобы найти первые шесть членов, будем последовательно вычислять их, начиная со второго.
Первый член задан: $x_1 = 7$.
Второй член ($n=1$): $x_2 = 10x_1 = 10 \cdot 7 = 70$.
Третий член ($n=2$): $x_3 = 10x_2 = 10 \cdot 70 = 700$.
Четвертый член ($n=3$): $x_4 = 10x_3 = 10 \cdot 700 = 7000$.
Пятый член ($n=4$): $x_5 = 10x_4 = 10 \cdot 7000 = 70000$.
Шестой член ($n=5$): $x_6 = 10x_5 = 10 \cdot 70000 = 700000$.
Ответ: 7, 70, 700, 7000, 70000, 700000.

б) Последовательность задана первым членом $a_1 = -10$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$. Найдем первые шесть членов последовательности.
Первый член задан: $a_1 = -10$.
Второй член ($n=1$): $a_2 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{-10} = -0.1$.
Третий член ($n=2$): $a_3 = \frac{1}{a_2} = \frac{1}{-0.1} = -10$.
Четвертый член ($n=3$): $a_4 = \frac{1}{a_3} = \frac{1}{-10} = -0.1$.
Пятый член ($n=4$): $a_5 = \frac{1}{a_4} = \frac{1}{-0.1} = -10$.
Шестой член ($n=5$): $a_6 = \frac{1}{a_5} = \frac{1}{-10} = -0.1$.
Видно, что члены последовательности чередуются.
Ответ: -10, -0.1, -10, -0.1, -10, -0.1.

в) Последовательность задана первыми двумя членами $c_1 = 0$, $c_2 = 1$ и рекуррентной формулой $c_n = c_{n-2} - c_{n-1}$ для $n \ge 3$. Эта формула определяет каждый член, начиная с третьего, через два предыдущих.
Первый член: $c_1 = 0$.
Второй член: $c_2 = 1$.
Третий член ($n=3$): $c_3 = c_1 - c_2 = 0 - 1 = -1$.
Четвертый член ($n=4$): $c_4 = c_2 - c_3 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Пятый член ($n=5$): $c_5 = c_3 - c_4 = -1 - 2 = -3$.
Шестой член ($n=6$): $c_6 = c_4 - c_5 = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.
Ответ: 0, 1, -1, 2, -3, 5.

г) Последовательность задана первыми двумя членами $b_1 = -1$, $b_2 = -2$ и рекуррентной формулой $b_n = \frac{b_{n-2}}{b_{n-1}}$ для $n \ge 3$. Найдем первые шесть членов.
Первый член: $b_1 = -1$.
Второй член: $b_2 = -2$.
Третий член ($n=3$): $b_3 = \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Четвертый член ($n=4$): $b_4 = \frac{b_2}{b_3} = \frac{-2}{1/2} = -4$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = \frac{b_3}{b_4} = \frac{1/2}{-4} = -\frac{1}{8} = -0.125$.
Шестой член ($n=6$): $b_6 = \frac{b_4}{b_5} = \frac{-4}{-1/8} = 32$.
Ответ: -1, -2, 0.5, -4, -0.125, 32.

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ (574 – 575)

574 Плата за парковку машины на автостоянке начисляется следующим образом: за первый час берётся 20 р., а за каждый следующий час (полный или неполный) автовладелец платит 12 р. Заполните таблицу и запишите формулу, по которой можно вычислить плату за $n$ часов.

Сколько должен заплатить автовладелец за парковку, если он оставит автомобиль на стоянке на 20 ч 40 мин? на 10 суток?

Для решения задачи проанализируем условия начисления платы за парковку. Стоимость первого часа составляет 20 рублей. Каждый последующий час, включая неполные, стоит 12 рублей. Обозначим стоимость парковки за n часов как $c_n$.

Заполнение таблицы

Рассчитаем стоимость парковки для каждого часа с 1-го по 8-й, продолжая логику, приведенную в примере.

• За 1 час: $c_1 = 20$ р.
• За 2 часа: $c_2 = 20 + 12 = 32$ р.
• За 3 часа: $c_3 = 32 + 12 = 44$ р. (или $20 + 12 \cdot 2$)
• За 4 часа: $c_4 = 44 + 12 = 56$ р. (или $20 + 12 \cdot 3$)
• За 5 часов: $c_5 = 56 + 12 = 68$ р. (или $20 + 12 \cdot 4$)
• За 6 часов: $c_6 = 68 + 12 = 80$ р. (или $20 + 12 \cdot 5$)
• За 7 часов: $c_7 = 80 + 12 = 92$ р. (или $20 + 12 \cdot 6$)
• За 8 часов: $c_8 = 92 + 12 = 104$ р. (или $20 + 12 \cdot 7$)

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Формула, по которой можно вычислить плату за n часов

Стоимость парковки $c_n$ за n часов складывается из стоимости первого часа (20 р.) и стоимости остальных $n-1$ часов по 12 р. каждый. Таким образом, получаем формулу:

$c_n = 20 + 12 \cdot (n-1)$

Эту формулу можно упростить, раскрыв скобки:

$c_n = 20 + 12n - 12$

$c_n = 12n + 8$

Обе формулы верны для $n \ge 1$.

Ответ: $c_n = 12n + 8$ (или $c_n = 20 + 12 \cdot (n-1)$).

Стоимость парковки за 20 ч 40 мин

По условию, неполный час оплачивается как полный. Время парковки 20 часов 40 минут означает, что прошло 20 полных часов и начался 21-й час. Следовательно, количество оплачиваемых часов $n = 21$.

Подставим $n=21$ в выведенную формулу:

$c_{21} = 12 \cdot 21 + 8 = 252 + 8 = 260$ рублей.

Ответ: 260 рублей.

Стоимость парковки за 10 суток

Сначала переведем 10 суток в часы. В одних сутках 24 часа.

$n = 10 \text{ суток} \cdot 24 \frac{\text{часов}}{\text{сутки}} = 240$ часов.

Теперь подставим $n=240$ в формулу для расчета стоимости:

$c_{240} = 12 \cdot 240 + 8 = 2880 + 8 = 2888$ рублей.

Ответ: 2888 рублей.

575 Николай начал заниматься в тренажёрном зале. Используя калькулятор, заполните таблицу и запишите формулу, по которой можно вычислить время занятий Николая в n-й день,

если в первый день он занимался 10 мин, а в каждый следующий день увеличивал время занятий в 1,1 раза.

Через три недели Николай перестал увеличивать время занятий. Сколько минут он стал проводить в тренажёрном зале?

Проанализируем условие задачи. Время занятий Николая представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = 10$ минут, а знаменатель прогрессии $q = 1,1$, так как каждый день время увеличивается в 1,1 раза.

Для заполнения таблицы будем использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $T_n = 10 \cdot (1,1)^{n-1}$, где $T_n$ – длительность занятий в n-й день.

• День 4 (n=4):
  Длительность: $T_3 \cdot 1,1 = 12,1 \cdot 1,1 = 13,31 \approx 13$ минут.
  Правило вычисления: $10 \cdot (1,1)^{4-1} = 10 \cdot (1,1)^3$.
• День 5 (n=5):
  Длительность: $T_4 \cdot 1,1 = 13,31 \cdot 1,1 = 14,641 \approx 15$ минут.
  Правило вычисления: $10 \cdot (1,1)^{5-1} = 10 \cdot (1,1)^4$.
• День 6 (n=6):
  Длительность: $T_5 \cdot 1,1 = 14,641 \cdot 1,1 = 16,1051 \approx 16$ минут.
  Правило вычисления: $10 \cdot (1,1)^{6-1} = 10 \cdot (1,1)^5$.

Заполненная таблица:

Как было показано ранее, длительность занятий является n-м членом геометрической прогрессии. Обозначим длительность занятий в n-й день как $T_n$.

Первый член прогрессии (время в первый день) $b_1 = 10$.

Знаменатель прогрессии (коэффициент увеличения) $q = 1,1$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив наши значения, получаем формулу для времени занятий Николая в n-й день:

$T_n = 10 \cdot (1,1)^{n-1}$

Ответ: $T_n = 10 \cdot (1,1)^{n-1}$.

Николай перестал увеличивать время занятий через три недели. В неделе 7 дней, значит, он увеличивал время в течение $3 \cdot 7 = 21$ дня. Время зафиксировалось на уровне, достигнутом в 21-й день. Нам нужно рассчитать $T_{21}$.

Используем выведенную формулу для $n = 21$:

$T_{21} = 10 \cdot (1,1)^{21-1} = 10 \cdot (1,1)^{20}$

Теперь воспользуемся калькулятором для вычисления $(1,1)^{20}$:

$(1,1)^{20} \approx 6,7275$

Подставляем это значение в нашу формулу:

$T_{21} \approx 10 \cdot 6,7275 = 67,275$ минут.

Округляя до целого числа минут, получаем 67 минут.

Ответ: 67 минут.