Страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

584 Вычислите первые шесть членов последовательности и найдите формулу n-го члена этой последовательности:

а) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -a_n$

б) $a_1 = -5$, $a_{n+1} = -a_n$

а)

По условию, первый член последовательности $a_1 = 1$. Каждый последующий член последовательности определяется через предыдущий с помощью рекуррентной формулы $a_{n+1} = -a_n$. Это означает, что каждый следующий член равен предыдущему, взятому с противоположным знаком.

Вычислим первые шесть членов последовательности:

$a_1 = 1$

$a_2 = -a_1 = -1$

$a_3 = -a_2 = -(-1) = 1$

$a_4 = -a_3 = -1$

$a_5 = -a_4 = -(-1) = 1$

$a_6 = -a_5 = -1$

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 1, -1, 1, -1, 1, -1.

Чтобы найти формулу $n$-го члена, заметим, что данная последовательность является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = a_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив любой член на предыдущий: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-1}{1} = -1$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив в эту формулу значения $b_1 = 1$ и $q = -1$, получим формулу для $n$-го члена нашей последовательности:

$a_n = 1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1}$.

Ответ: Первые шесть членов: 1, -1, 1, -1, 1, -1. Формула $n$-го члена: $a_n = (-1)^{n-1}$.

б)

В этом случае первый член последовательности $a_1 = -5$, а рекуррентная формула та же: $a_{n+1} = -a_n$.

Вычислим первые шесть членов этой последовательности:

$a_1 = -5$

$a_2 = -a_1 = -(-5) = 5$

$a_3 = -a_2 = -5$

$a_4 = -a_3 = -(-5) = 5$

$a_5 = -a_4 = -5$

$a_6 = -a_5 = -(-5) = 5$

Первые шесть членов последовательности: -5, 5, -5, 5, -5, 5.

Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = a_1 = -5$, а знаменатель $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{-5} = -1$.

Используем ту же формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив значения $b_1 = -5$ и $q = -1$, получим искомую формулу:

$a_n = -5 \cdot (-1)^{n-1}$.

Ответ: Первые шесть членов: -5, 5, -5, 5, -5, 5. Формула $n$-го члена: $a_n = -5 \cdot (-1)^{n-1}$.

585 ДОКАЗЫВАЕМ

a) Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена: $a_n = \frac{2n+1}{n}$. Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками на координатной плоскости. Докажите, что все члены последовательности больше 2.

б) Последовательность ($b_n$) задана формулой $n$-го члена: $b_n = \frac{2n-1}{n}$. Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками на координатной плоскости. Докажите, что все члены последовательности меньше 2.

в) Последовательность ($y_n$) задана формулой $n$-го члена: $y_n = \frac{2n+(-1)^n}{n}$. Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками на координатной плоскости. Докажите, что каждый следующий член последовательности ближе к 2, чем предыдущий.

а)

Дана последовательность $(a_n)$ с формулой n-го члена: $a_n = \frac{2n+1}{n}$.

1. Вычисление первых семи членов последовательности:

Подставим значения $n$ от 1 до 7 в формулу:

• При $n=1$: $a_1 = \frac{2(1)+1}{1} = 3$
• При $n=2$: $a_2 = \frac{2(2)+1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$
• При $n=3$: $a_3 = \frac{2(3)+1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2,333$
• При $n=4$: $a_4 = \frac{2(4)+1}{4} = \frac{9}{4} = 2,25$
• При $n=5$: $a_5 = \frac{2(5)+1}{5} = \frac{11}{5} = 2,2$
• При $n=6$: $a_6 = \frac{2(6)+1}{6} = \frac{13}{6} \approx 2,167$
• При $n=7$: $a_7 = \frac{2(7)+1}{7} = \frac{15}{7} \approx 2,143$

2. Изображение точек на координатной плоскости:

На координатной плоскости по оси абсцисс откладываем номер члена последовательности $n$, а по оси ординат — значение члена последовательности $a_n$. Мы получим следующие точки: $(1, 3)$, $(2, 2,5)$, $(3, \frac{7}{3})$, $(4, 2,25)$, $(5, 2,2)$, $(6, \frac{13}{6})$, $(7, \frac{15}{7})$. Все эти точки лежат выше горизонтальной прямой $y=2$ и с ростом $n$ приближаются к ней сверху.

3. Доказательство того, что все члены последовательности больше 2:

Нам нужно доказать, что $a_n > 2$ для любого натурального $n$.

Преобразуем формулу для $a_n$:

$a_n = \frac{2n+1}{n} = \frac{2n}{n} + \frac{1}{n} = 2 + \frac{1}{n}$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, дробь $\frac{1}{n}$ всегда положительна ($\frac{1}{n} > 0$).

Таким образом, $a_n = 2 + \frac{1}{n}$ всегда будет больше 2, так как к 2 прибавляется положительное число. Неравенство $a_n > 2$ выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Первые семь членов: $3, 2,5, \frac{7}{3}, 2,25, 2,2, \frac{13}{6}, \frac{15}{7}$. Доказательство: $a_n = 2 + \frac{1}{n}$, так как $\frac{1}{n} > 0$ для всех натуральных $n$, то $a_n > 2$.

б)

Дана последовательность $(b_n)$ с формулой n-го члена: $b_n = \frac{2n-1}{n}$.

1. Вычисление первых семи членов последовательности:

Подставим значения $n$ от 1 до 7 в формулу:

• При $n=1$: $b_1 = \frac{2(1)-1}{1} = 1$
• При $n=2$: $b_2 = \frac{2(2)-1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$
• При $n=3$: $b_3 = \frac{2(3)-1}{3} = \frac{5}{3} \approx 1,667$
• При $n=4$: $b_4 = \frac{2(4)-1}{4} = \frac{7}{4} = 1,75$
• При $n=5$: $b_5 = \frac{2(5)-1}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$
• При $n=6$: $b_6 = \frac{2(6)-1}{6} = \frac{11}{6} \approx 1,833$
• При $n=7$: $b_7 = \frac{2(7)-1}{7} = \frac{13}{7} \approx 1,857$

2. Изображение точек на координатной плоскости:

На координатной плоскости откладываем точки с координатами $(n, b_n)$: $(1, 1)$, $(2, 1,5)$, $(3, \frac{5}{3})$, $(4, 1,75)$, $(5, 1,8)$, $(6, \frac{11}{6})$, $(7, \frac{13}{7})$. Все эти точки лежат ниже горизонтальной прямой $y=2$ и с ростом $n$ приближаются к ней снизу.

3. Доказательство того, что все члены последовательности меньше 2:

Нам нужно доказать, что $b_n < 2$ для любого натурального $n$.

Преобразуем формулу для $b_n$:

$b_n = \frac{2n-1}{n} = \frac{2n}{n} - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n}$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, дробь $\frac{1}{n}$ всегда положительна ($\frac{1}{n} > 0$).

Таким образом, $b_n = 2 - \frac{1}{n}$ всегда будет меньше 2, так как из 2 вычитается положительное число. Неравенство $b_n < 2$ выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Первые семь членов: $1, 1,5, \frac{5}{3}, 1,75, 1,8, \frac{11}{6}, \frac{13}{7}$. Доказательство: $b_n = 2 - \frac{1}{n}$, так как $\frac{1}{n} > 0$ для всех натуральных $n$, то $b_n < 2$.

в)

Дана последовательность $(y_n)$ с формулой n-го члена: $y_n = \frac{2n+(-1)^n}{n}$.

1. Вычисление первых семи членов последовательности:

Подставим значения $n$ от 1 до 7 в формулу:

• При $n=1$: $y_1 = \frac{2(1)+(-1)^1}{1} = \frac{2-1}{1} = 1$
• При $n=2$: $y_2 = \frac{2(2)+(-1)^2}{2} = \frac{4+1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$
• При $n=3$: $y_3 = \frac{2(3)+(-1)^3}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3} \approx 1,667$
• При $n=4$: $y_4 = \frac{2(4)+(-1)^4}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4} = 2,25$
• При $n=5$: $y_5 = \frac{2(5)+(-1)^5}{5} = \frac{10-1}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$
• При $n=6$: $y_6 = \frac{2(6)+(-1)^6}{6} = \frac{12+1}{6} = \frac{13}{6} \approx 2,167$
• При $n=7$: $y_7 = \frac{2(7)+(-1)^7}{7} = \frac{14-1}{7} = \frac{13}{7} \approx 1,857$

2. Изображение точек на координатной плоскости:

На координатной плоскости откладываем точки с координатами $(n, y_n)$: $(1, 1)$, $(2, 2,5)$, $(3, \frac{5}{3})$, $(4, 2,25)$, $(5, 1,8)$, $(6, \frac{13}{6})$, $(7, \frac{13}{7})$. Члены последовательности с нечетными номерами $n$ лежат ниже прямой $y=2$, а с четными — выше. С ростом $n$ точки "колеблются" вокруг прямой $y=2$, подходя к ней все ближе.

3. Доказательство того, что каждый следующий член последовательности ближе к 2, чем предыдущий:

Нам нужно доказать, что расстояние от $y_{n+1}$ до 2 меньше, чем расстояние от $y_n$ до 2. Расстояние от члена последовательности $y_n$ до числа 2 выражается как $|y_n - 2|$. Таким образом, мы должны доказать неравенство: $|y_{n+1} - 2| < |y_n - 2|$.

Сначала преобразуем формулу для $y_n$:

$y_n = \frac{2n+(-1)^n}{n} = \frac{2n}{n} + \frac{(-1)^n}{n} = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$

Теперь найдем выражение для расстояния:

$|y_n - 2| = |(2 + \frac{(-1)^n}{n}) - 2| = |\frac{(-1)^n}{n}| = \frac{|(-1)^n|}{|n|} = \frac{1}{n}$ (так как $n$ — натуральное число, $n > 0$ и $|n|=n$).

Итак, расстояние от $y_n$ до 2 равно $\frac{1}{n}$.

Соответственно, расстояние от следующего члена $y_{n+1}$ до 2 равно $|y_{n+1} - 2| = \frac{1}{n+1}$.

Теперь докажем неравенство $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $n+1 > n$.

Так как обе части неравенства $n+1 > n$ положительны, мы можем взять обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$

Это неравенство верно для всех натуральных $n$. Следовательно, $|y_{n+1} - 2| < |y_n - 2|$, что и доказывает, что каждый следующий член последовательности ближе к 2, чем предыдущий.

Ответ: Первые семь членов: $1, 2,5, \frac{5}{3}, 2,25, 1,8, \frac{13}{6}, \frac{13}{7}$. Доказательство: расстояние от $y_n$ до 2 равно $|y_n - 2| = \frac{1}{n}$. Так как $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$ для всех натуральных $n$, то каждый следующий член ближе к 2.