Номер 584, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 584, страница 228.

584 Вычислите первые шесть членов последовательности и найдите формулу n-го члена этой последовательности:

а) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -a_n$

б) $a_1 = -5$, $a_{n+1} = -a_n$

а)

По условию, первый член последовательности $a_1 = 1$. Каждый последующий член последовательности определяется через предыдущий с помощью рекуррентной формулы $a_{n+1} = -a_n$. Это означает, что каждый следующий член равен предыдущему, взятому с противоположным знаком.

Вычислим первые шесть членов последовательности:

$a_1 = 1$

$a_2 = -a_1 = -1$

$a_3 = -a_2 = -(-1) = 1$

$a_4 = -a_3 = -1$

$a_5 = -a_4 = -(-1) = 1$

$a_6 = -a_5 = -1$

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 1, -1, 1, -1, 1, -1.

Чтобы найти формулу $n$-го члена, заметим, что данная последовательность является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = a_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив любой член на предыдущий: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-1}{1} = -1$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив в эту формулу значения $b_1 = 1$ и $q = -1$, получим формулу для $n$-го члена нашей последовательности:

$a_n = 1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1}$.

Ответ: Первые шесть членов: 1, -1, 1, -1, 1, -1. Формула $n$-го члена: $a_n = (-1)^{n-1}$.

б)

В этом случае первый член последовательности $a_1 = -5$, а рекуррентная формула та же: $a_{n+1} = -a_n$.

Вычислим первые шесть членов этой последовательности:

$a_1 = -5$

$a_2 = -a_1 = -(-5) = 5$

$a_3 = -a_2 = -5$

$a_4 = -a_3 = -(-5) = 5$

$a_5 = -a_4 = -5$

$a_6 = -a_5 = -(-5) = 5$

Первые шесть членов последовательности: -5, 5, -5, 5, -5, 5.

Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = a_1 = -5$, а знаменатель $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{-5} = -1$.

Используем ту же формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив значения $b_1 = -5$ и $q = -1$, получим искомую формулу:

$a_n = -5 \cdot (-1)^{n-1}$.

Ответ: Первые шесть членов: -5, 5, -5, 5, -5, 5. Формула $n$-го члена: $a_n = -5 \cdot (-1)^{n-1}$.