Номер 583, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 583, страница 227.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (583–584)

583 Найдите первые десять членов последовательности и опишите её словами:

а) $b_n = (-1)^n$;

б) $x_n = \frac{(-1)^{n-1}}{10}$;

в) $y_n = (-1)^{n+1} + 1$;

г) $a_n = (-1)^n \cdot n$;

д) $z_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$;

е) $c_n = 3(-1)^n$.

а) Для последовательности, заданной формулой $b_n = (-1)^n$, найдем первые десять членов, подставляя вместо $n$ натуральные числа от 1 до 10:
$b_1 = (-1)^1 = -1$
$b_2 = (-1)^2 = 1$
$b_3 = (-1)^3 = -1$
$b_4 = (-1)^4 = 1$
$b_5 = (-1)^5 = -1$
$b_6 = (-1)^6 = 1$
$b_7 = (-1)^7 = -1$
$b_8 = (-1)^8 = 1$
$b_9 = (-1)^9 = -1$
$b_{10} = (-1)^{10} = 1$
Первые десять членов последовательности: -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Члены последовательности с нечетными номерами (индексами) равны -1, а с четными номерами — 1.
Ответ: Первые десять членов: -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1. Описание: последовательность, в которой нечетные члены равны -1, а четные равны 1.

б) Для последовательности, заданной формулой $x_n = \frac{(-1)^{n-1}}{10}$, найдем первые десять членов:
$x_1 = \frac{(-1)^{1-1}}{10} = \frac{(-1)^0}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_2 = \frac{(-1)^{2-1}}{10} = \frac{(-1)^1}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
$x_3 = \frac{(-1)^{3-1}}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_4 = \frac{(-1)^{4-1}}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
$x_5 = \frac{(-1)^{5-1}}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_6 = \frac{(-1)^{6-1}}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
$x_7 = \frac{(-1)^{7-1}}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_8 = \frac{(-1)^{8-1}}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
$x_9 = \frac{(-1)^{9-1}}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_{10} = \frac{(-1)^{10-1}}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
Первые десять членов последовательности: 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Члены с нечетными номерами равны 0,1, а с четными — -0,1.
Ответ: Первые десять членов: 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1. Описание: последовательность, в которой нечетные члены равны 0,1, а четные равны -0,1.

в) Для последовательности, заданной формулой $y_n = (-1)^{n+1} + 1$, найдем первые десять членов:
$y_1 = (-1)^{1+1} + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$
$y_2 = (-1)^{2+1} + 1 = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0$
$y_3 = (-1)^{3+1} + 1 = 2$
$y_4 = (-1)^{4+1} + 1 = 0$
$y_5 = (-1)^{5+1} + 1 = 2$
$y_6 = (-1)^{6+1} + 1 = 0$
$y_7 = (-1)^{7+1} + 1 = 2$
$y_8 = (-1)^{8+1} + 1 = 0$
$y_9 = (-1)^{9+1} + 1 = 2$
$y_{10} = (-1)^{10+1} + 1 = 0$
Первые десять членов последовательности: 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Члены с нечетными номерами равны 2, а с четными — 0.
Ответ: Первые десять членов: 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0. Описание: последовательность, в которой нечетные члены равны 2, а четные равны 0.

г) Для последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$, найдем первые десять членов:
$a_1 = (-1)^1 \cdot 1 = -1$
$a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$
$a_3 = (-1)^3 \cdot 3 = -3$
$a_4 = (-1)^4 \cdot 4 = 4$
$a_5 = (-1)^5 \cdot 5 = -5$
$a_6 = (-1)^6 \cdot 6 = 6$
$a_7 = (-1)^7 \cdot 7 = -7$
$a_8 = (-1)^8 \cdot 8 = 8$
$a_9 = (-1)^9 \cdot 9 = -9$
$a_{10} = (-1)^{10} \cdot 10 = 10$
Первые десять членов последовательности: -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Модуль каждого члена равен его номеру. Члены с нечетными номерами отрицательны, а с четными — положительны.
Ответ: Первые десять членов: -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10. Описание: знакочередующаяся последовательность, n-й член которой равен n по модулю; нечетные члены отрицательны, четные — положительны.

д) Для последовательности, заданной формулой $z_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$, найдем первые десять членов:
$z_1 = \frac{(-1)^1 + 1}{1} = \frac{0}{1} = 0$
$z_2 = \frac{(-1)^2 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$z_3 = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$
$z_4 = \frac{(-1)^4 + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$z_5 = \frac{(-1)^5 + 1}{5} = 0$
$z_6 = \frac{(-1)^6 + 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$z_7 = \frac{(-1)^7 + 1}{7} = 0$
$z_8 = \frac{(-1)^8 + 1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$z_9 = \frac{(-1)^9 + 1}{9} = 0$
$z_{10} = \frac{(-1)^{10} + 1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Первые десять членов последовательности: 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, 0, $\frac{1}{5}$.
Описание словами: все члены с нечетными номерами равны нулю. Член с четным номером $n$ равен $\frac{2}{n}$. Если четный номер представить в виде $n=2k$, то $n$-й член равен $\frac{1}{k}$.
Ответ: Первые десять членов: 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, 0, $\frac{1}{5}$. Описание: все нечетные члены равны 0, а каждый четный член с номером $n$ равен $\frac{2}{n}$.

е) Для последовательности, заданной формулой $c_n = 3^{(-1)^n}$, найдем первые десять членов:
$c_1 = 3^{(-1)^1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$
$c_2 = 3^{(-1)^2} = 3^1 = 3$
$c_3 = 3^{(-1)^3} = \frac{1}{3}$
$c_4 = 3^{(-1)^4} = 3$
$c_5 = 3^{(-1)^5} = \frac{1}{3}$
$c_6 = 3^{(-1)^6} = 3$
$c_7 = 3^{(-1)^7} = \frac{1}{3}$
$c_8 = 3^{(-1)^8} = 3$
$c_9 = 3^{(-1)^9} = \frac{1}{3}$
$c_{10} = 3^{(-1)^{10}} = 3$
Первые десять членов последовательности: $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Члены с нечетными номерами равны $\frac{1}{3}$, а с четными — 3.
Ответ: Первые десять членов: $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3. Описание: последовательность, в которой нечетные члены равны $\frac{1}{3}$, а четные равны 3.