Номер 580, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 580, страница 227.

580 Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена:

$x_n = n^2 - n.$

a) Найдите $x_{10}$; $x_{15}$; $x_k$; $x_{k+1}$.

б) Каким членом этой последовательности является число 56? число 110?

а) Чтобы найти указанные члены последовательности, необходимо подставить соответствующие значения индекса ($10$, $15$, $k$, $k+1$) вместо $n$ в заданную формулу $x_n = n^2 - n$.

Для $x_{10}$ подставляем $n=10$:

$x_{10} = 10^2 - 10 = 100 - 10 = 90$

Для $x_{15}$ подставляем $n=15$:

$x_{15} = 15^2 - 15 = 225 - 15 = 210$

Для $x_k$ подставляем $n=k$:

$x_k = k^2 - k$

Для $x_{k+1}$ подставляем $n=k+1$:

$x_{k+1} = (k+1)^2 - (k+1) = (k^2 + 2k + 1) - (k+1) = k^2 + 2k + 1 - k - 1 = k^2 + k$

Ответ: $x_{10} = 90$; $x_{15} = 210$; $x_k = k^2 - k$; $x_{k+1} = k^2 + k$.

б) Чтобы определить, каким членом последовательности является данное число, нужно приравнять $x_n$ к этому числу и найти $n$. Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, он должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Определим номер для числа 56:

Составим уравнение, приравняв $x_n$ к 56:

$n^2 - n = 56$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - n - 56 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней равно $-56$, а их сумма равна $1$. Легко подобрать корни: $n_1 = 8$ и $n_2 = -7$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -7$ не подходит. Следовательно, $n = 8$.

Определим номер для числа 110:

Аналогично составим уравнение для числа 110:

$n^2 - n = 110$

Приведем к стандартному виду:

$n^2 - n - 110 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно $-110$, а их сумма равна $1$. Корнями являются числа $n_1 = 11$ и $n_2 = -10$.

Корень $n_2 = -10$ не подходит, так как номер члена должен быть натуральным. Следовательно, $n = 11$.

Ответ: число 56 является 8-м членом последовательности; число 110 является 11-м членом последовательности.