Номер 581, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 581, страница 227.

РАССУЖДАЕМ (581–582)

581 Последовательность ($z_n$) задана формулой $n$-го члена: $z_n = n - \frac{1}{n}$.

1) Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10.

Сколько таких членов?

2) Сравните $z_{10} - z_9$ и $z_{100} - z_{99}$.

1)

Чтобы найти все члены последовательности $(z_n)$, которые меньше 10, необходимо решить неравенство $z_n < 10$ при условии, что $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Подставим формулу n-го члена в неравенство: $n - \frac{1}{n} < 10$

Поскольку $n \geq 1$, мы можем умножить обе части неравенства на $n$, не меняя знака неравенства: $n^2 - 1 < 10n$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство: $n^2 - 10n - 1 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 10n - 1 = 0$ с помощью формулы корней квадратного уравнения: $D = (-10)^2 - 4(1)(-1) = 100 + 4 = 104$ $n_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 5 \pm \sqrt{26}$

Так как $5^2=25$ и $5.1^2=26.01$, то $\sqrt{26} \approx 5.1$. Тогда корни приблизительно равны: $n_1 = 5 - \sqrt{26} \approx 5 - 5.1 = -0.1$ $n_2 = 5 + \sqrt{26} \approx 5 + 5.1 = 10.1$

Парабола $y = n^2 - 10n - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 - 10n - 1 < 0$ выполняется между корнями: $5 - \sqrt{26} < n < 5 + \sqrt{26}$, или примерно $-0.1 < n < 10.1$. Так как $n$ — натуральное число, то подходящие значения для $n$ это $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Таким образом, существует 10 членов последовательности, меньших 10.

Выпишем эти члены: $z_1 = 1 - \frac{1}{1} = 0$
$z_2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$
$z_3 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
$z_4 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$
$z_5 = 5 - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} = 4.8$
$z_6 = 6 - \frac{1}{6} = \frac{35}{6}$
$z_7 = 7 - \frac{1}{7} = \frac{48}{7}$
$z_8 = 8 - \frac{1}{8} = \frac{63}{8} = 7.875$
$z_9 = 9 - \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$
$z_{10} = 10 - \frac{1}{10} = \frac{99}{10} = 9.9$

Ответ: Члены последовательности, меньшие 10: $0, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{4}, \frac{24}{5}, \frac{35}{6}, \frac{48}{7}, \frac{63}{8}, \frac{80}{9}, \frac{99}{10}$. Всего таких членов 10.

2)

Для сравнения выражений $z_{10} - z_9$ и $z_{100} - z_{99}$ найдем сначала общую формулу для разности $z_n - z_{n-1}$: $z_n - z_{n-1} = \left(n - \frac{1}{n}\right) - \left((n-1) - \frac{1}{n-1}\right) = n - \frac{1}{n} - n + 1 + \frac{1}{n-1} = 1 + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$

Приводя дроби к общему знаменателю $n(n-1)$, получаем: $1 + \frac{n}{n(n-1)} - \frac{n-1}{n(n-1)} = 1 + \frac{n - (n-1)}{n(n-1)} = 1 + \frac{1}{n(n-1)}$

Теперь воспользуемся этой формулой для вычисления конкретных разностей.

При $n=10$: $z_{10} - z_9 = 1 + \frac{1}{10(10-1)} = 1 + \frac{1}{10 \cdot 9} = 1 + \frac{1}{90}$

При $n=100$: $z_{100} - z_{99} = 1 + \frac{1}{100(100-1)} = 1 + \frac{1}{100 \cdot 99} = 1 + \frac{1}{9900}$

Теперь сравним полученные результаты: $1 + \frac{1}{90}$ и $1 + \frac{1}{9900}$. Поскольку знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй ($90 < 9900$), значение первой дроби будет больше значения второй: $\frac{1}{90} > \frac{1}{9900}$

Следовательно: $1 + \frac{1}{90} > 1 + \frac{1}{9900}$ $z_{10} - z_9 > z_{100} - z_{99}$

Ответ: $z_{10} - z_9 > z_{100} - z_{99}$.