Номер 582, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 582, страница 227.

582 Последовательность ($y_n$) задана формулой $n$-го члена: $y_n = 3^{n-5}$.

1) Выпишите все члены этой последовательности, большие $\frac{1}{10}$ и меньшие 10. Укажите номера этих членов.

2) Сравните отношения: $\frac{y_{10}}{y_9}$ и $\frac{y_{100}}{y_{99}}$.

1) По условию, нам нужно найти все члены последовательности $(y_n)$, заданной формулой $y_n = 3^{n-5}$, которые удовлетворяют двойному неравенству:

$\frac{1}{10} < y_n < 10$

Подставим в неравенство формулу $n$-го члена последовательности:

$\frac{1}{10} < 3^{n-5} < 10$

Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), мы можем найти подходящие значения $n$, вычисляя $y_n$ для последовательных значений $n$ и проверяя, попадают ли они в заданный интервал.

• При $n=1$: $y_1 = 3^{1-5} = 3^{-4} = \frac{1}{81}$. Неравенство $\frac{1}{81} > \frac{1}{10}$ неверно.
• При $n=2$: $y_2 = 3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$. Неравенство $\frac{1}{27} > \frac{1}{10}$ неверно.
• При $n=3$: $y_3 = 3^{3-5} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Неравенство $\frac{1}{10} < \frac{1}{9} < 10$ верно, так как $10 > 9 > 0$ и $9 < 10$.
• При $n=4$: $y_4 = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Неравенство $\frac{1}{10} < \frac{1}{3} < 10$ верно.
• При $n=5$: $y_5 = 3^{5-5} = 3^0 = 1$. Неравенство $\frac{1}{10} < 1 < 10$ верно.
• При $n=6$: $y_6 = 3^{6-5} = 3^1 = 3$. Неравенство $\frac{1}{10} < 3 < 10$ верно.
• При $n=7$: $y_7 = 3^{7-5} = 3^2 = 9$. Неравенство $\frac{1}{10} < 9 < 10$ верно.
• При $n=8$: $y_8 = 3^{8-5} = 3^3 = 27$. Неравенство $27 < 10$ неверно.

Для всех $n \geq 8$ члены последовательности будут только увеличиваться и, следовательно, не будут удовлетворять условию $y_n < 10$.

Таким образом, условию удовлетворяют члены последовательности с номерами 3, 4, 5, 6, 7. Значения этих членов: $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{3}$, $1$, $3$, $9$.

Ответ: Члены последовательности, большие $\frac{1}{10}$ и меньшие 10: $y_3 = \frac{1}{9}$, $y_4 = \frac{1}{3}$, $y_5 = 1$, $y_6 = 3$, $y_7 = 9$. Номера этих членов: 3, 4, 5, 6, 7.

2) Для сравнения двух отношений, вычислим каждое из них.

Найдем первое отношение $\frac{y_{10}}{y_9}$.

Используя формулу $y_n = 3^{n-5}$, получаем:

$y_{10} = 3^{10-5} = 3^5$

$y_{9} = 3^{9-5} = 3^4$

Следовательно, их отношение равно:

$\frac{y_{10}}{y_9} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$

Теперь найдем второе отношение $\frac{y_{100}}{y_{99}}$.

Аналогично, получаем:

$y_{100} = 3^{100-5} = 3^{95}$

$y_{99} = 3^{99-5} = 3^{94}$

Их отношение равно:

$\frac{y_{100}}{y_{99}} = \frac{3^{95}}{3^{94}} = 3^{95-94} = 3^1 = 3$

Сравнивая результаты, мы видим, что оба отношения равны 3.

Ответ: Отношения равны: $\frac{y_{10}}{y_9} = \frac{y_{100}}{y_{99}}$.