Номер 590, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 590, страница 235.

590 В арифметической прогрессии ($a_n$), разность которой равна 12, известен восьмой член:

...; 54; ...

Восстановите начало прогрессии. Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны? Сколько в ней отрицательных членов?

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d = 12$ и восьмым членом $a_8 = 54$.

Восстановите начало прогрессии.

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для восьмого члена ($n=8$):
$a_8 = a_1 + (8-1)d$
$54 = a_1 + 7 \times 12$
$54 = a_1 + 84$
$a_1 = 54 - 84$
$a_1 = -30$
Теперь, зная первый член и разность, мы можем найти несколько следующих членов прогрессии:
$a_2 = a_1 + d = -30 + 12 = -18$
$a_3 = a_2 + d = -18 + 12 = -6$
$a_4 = a_3 + d = -6 + 12 = 6$
$a_5 = a_4 + d = 6 + 12 = 18$
Таким образом, начало прогрессии выглядит так: -30, -18, -6, 6, 18, ...
Ответ: Начало прогрессии: -30, -18, -6, ...

Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны?

Чтобы найти, с какого номера члены прогрессии становятся положительными, нужно решить неравенство $a_n > 0$.
Запишем формулу для n-го члена с найденным $a_1$:
$a_n = -30 + (n-1) \times 12$
Решим неравенство:
$-30 + 12(n-1) > 0$
$12(n-1) > 30$
$n-1 > \frac{30}{12}$
$n-1 > 2.5$
$n > 3.5$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 4.
Проверим: $a_3 = -6$, $a_4 = 6$. Действительно, четвертый член является первым положительным членом.
Ответ: Члены прогрессии положительны начиная с 4-го номера.

Сколько в ней отрицательных членов?

Чтобы найти количество отрицательных членов, нужно решить неравенство $a_n < 0$ для целых положительных $n$.
$-30 + 12(n-1) < 0$
$12(n-1) < 30$
$n-1 < \frac{30}{12}$
$n-1 < 2.5$
$n < 3.5$
Номера членов $n$ должны быть натуральными числами. Этому условию удовлетворяют $n = 1, 2, 3$.
Следовательно, в прогрессии три отрицательных члена: $a_1 = -30$, $a_2 = -18$ и $a_3 = -6$.
Ответ: В прогрессии 3 отрицательных члена.