Номер 592, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 592, страница 235.

Вычисляем по формуле (592-596)

592 Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. Запишите формулу её n-го члена и найдите $a_{15}$, $a_{26}$, $a_{101}$:

a) -14; -9; -4; ...;

б) 12; 6; 0; ... .

а) Дана арифметическая прогрессия ($a_n$): $-14; -9; -4; \dots$

Чтобы найти формулу n-го члена и вычислить указанные члены, нам нужно определить первый член ($a_1$) и разность прогрессии ($d$).

1. Определение $a_1$ и $d$
Первый член прогрессии $a_1 = -14$.
Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Вычислим ее, вычтя первый член из второго:
$d = a_2 - a_1 = -9 - (-14) = -9 + 14 = 5$.

2. Формула n-го члена
Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим найденные значения $a_1 = -14$ и $d = 5$:
$a_n = -14 + (n-1) \cdot 5$
Упростим выражение:
$a_n = -14 + 5n - 5$
$a_n = 5n - 19$.

3. Вычисление $a_{15}$, $a_{26}$ и $a_{101}$
Используем полученную формулу $a_n = 5n - 19$:
Для $n=15$: $a_{15} = 5 \cdot 15 - 19 = 75 - 19 = 56$.
Для $n=26$: $a_{26} = 5 \cdot 26 - 19 = 130 - 19 = 111$.
Для $n=101$: $a_{101} = 5 \cdot 101 - 19 = 505 - 19 = 486$.

Ответ: формула n-го члена: $a_n = 5n - 19$; $a_{15}=56$; $a_{26}=111$; $a_{101}=486$.

б) Дана арифметическая прогрессия ($a_n$): $12; 6; 0; \dots$

1. Определение $a_1$ и $d$
Первый член прогрессии $a_1 = 12$.
Вычислим разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 6 - 12 = -6$.

2. Формула n-го члена
Используем общую формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$ с нашими значениями $a_1 = 12$ и $d = -6$:
$a_n = 12 + (n-1) \cdot (-6)$
Упростим выражение:
$a_n = 12 - 6n + 6$
$a_n = 18 - 6n$.

3. Вычисление $a_{15}$, $a_{26}$ и $a_{101}$
Используем полученную формулу $a_n = 18 - 6n$:
Для $n=15$: $a_{15} = 18 - 6 \cdot 15 = 18 - 90 = -72$.
Для $n=26$: $a_{26} = 18 - 6 \cdot 26 = 18 - 156 = -138$.
Для $n=101$: $a_{101} = 18 - 6 \cdot 101 = 18 - 606 = -588$.

Ответ: формула n-го члена: $a_n = 18 - 6n$; $a_{15}=-72$; $a_{26}=-138$; $a_{101}=-588$.