Страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

590 В арифметической прогрессии ($a_n$), разность которой равна 12, известен восьмой член:

...; 54; ...

Восстановите начало прогрессии. Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны? Сколько в ней отрицательных членов?

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d = 12$ и восьмым членом $a_8 = 54$.

Восстановите начало прогрессии.

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для восьмого члена ($n=8$):
$a_8 = a_1 + (8-1)d$
$54 = a_1 + 7 \times 12$
$54 = a_1 + 84$
$a_1 = 54 - 84$
$a_1 = -30$
Теперь, зная первый член и разность, мы можем найти несколько следующих членов прогрессии:
$a_2 = a_1 + d = -30 + 12 = -18$
$a_3 = a_2 + d = -18 + 12 = -6$
$a_4 = a_3 + d = -6 + 12 = 6$
$a_5 = a_4 + d = 6 + 12 = 18$
Таким образом, начало прогрессии выглядит так: -30, -18, -6, 6, 18, ...
Ответ: Начало прогрессии: -30, -18, -6, ...

Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны?

Чтобы найти, с какого номера члены прогрессии становятся положительными, нужно решить неравенство $a_n > 0$.
Запишем формулу для n-го члена с найденным $a_1$:
$a_n = -30 + (n-1) \times 12$
Решим неравенство:
$-30 + 12(n-1) > 0$
$12(n-1) > 30$
$n-1 > \frac{30}{12}$
$n-1 > 2.5$
$n > 3.5$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 4.
Проверим: $a_3 = -6$, $a_4 = 6$. Действительно, четвертый член является первым положительным членом.
Ответ: Члены прогрессии положительны начиная с 4-го номера.

Сколько в ней отрицательных членов?

Чтобы найти количество отрицательных членов, нужно решить неравенство $a_n < 0$ для целых положительных $n$.
$-30 + 12(n-1) < 0$
$12(n-1) < 30$
$n-1 < \frac{30}{12}$
$n-1 < 2.5$
$n < 3.5$
Номера членов $n$ должны быть натуральными числами. Этому условию удовлетворяют $n = 1, 2, 3$.
Следовательно, в прогрессии три отрицательных члена: $a_1 = -30$, $a_2 = -18$ и $a_3 = -6$.
Ответ: В прогрессии 3 отрицательных члена.

591 В арифметической прогрессии $(a_n)$ известны $a_5$ и $a_6$:

..., 11; 7; ... .

Запишите все предшествующие члены этой прогрессии и все последующие до десятого члена включительно. Сколько положительных членов в этой прогрессии? Начиная с какого номера члены прогрессии отрицательны?

По условию задачи, дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны пятый и шестой члены: $a_5 = 11$ и $a_6 = 7$.

Для решения задачи сначала найдем разность прогрессии $(d)$ и ее первый член $(a_1)$.

1. Разность арифметической прогрессии вычисляется по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.
$d = a_6 - a_5 = 7 - 11 = -4$.

2. Первый член найдем, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения для $a_5$:
$11 = a_1 + (5-1) \times (-4)$
$11 = a_1 - 16$
$a_1 = 11 + 16 = 27$.

Теперь, зная $a_1 = 27$ и $d = -4$, можем ответить на вопросы.

Запишите все предшествующие члены этой прогрессии и все последующие до десятого члена включительно.

Зная первый член и разность, мы можем восстановить всю последовательность. Каждый следующий член равен предыдущему плюс разность $d$, а каждый предыдущий — следующему минус разность $d$.

Предшествующие члены ($a_1, a_2, a_3, a_4$):
$a_4 = a_5 - d = 11 - (-4) = 15$
$a_3 = a_4 - d = 15 - (-4) = 19$
$a_2 = a_3 - d = 19 - (-4) = 23$
$a_1 = a_2 - d = 23 - (-4) = 27$

Последующие члены ($a_7, a_8, a_9, a_{10}$):
$a_7 = a_6 + d = 7 + (-4) = 3$
$a_8 = a_7 + d = 3 + (-4) = -1$
$a_9 = a_8 + d = -1 + (-4) = -5$
$a_{10} = a_9 + d = -5 + (-4) = -9$

Полная последовательность с первого по десятый член выглядит так: 27; 23; 19; 15; 11; 7; 3; -1; -5; -9.

Ответ: Предшествующие члены: 27, 23, 19, 15. Последующие члены до десятого включительно: 3, -1, -5, -9.

Сколько положительных членов в этой прогрессии?

Чтобы найти количество положительных членов, нужно решить неравенство $a_n > 0$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d = 27 + (n-1)(-4) = 27 - 4n + 4 = 31 - 4n$.

Решим неравенство:
$31 - 4n > 0$
$31 > 4n$
$n < \frac{31}{4}$
$n < 7.75$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ — это натуральное число, то положительными будут члены с номерами от 1 до 7 включительно ($n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$). Всего таких членов 7.

Ответ: 7.

Начиная с какого номера члены прогрессии отрицательны?

Чтобы найти, с какого номера члены прогрессии становятся отрицательными, нужно решить неравенство $a_n < 0$.

Используем ту же формулу $a_n = 31 - 4n$ и решим неравенство:
$31 - 4n < 0$
$31 < 4n$
$n > \frac{31}{4}$
$n > 7.75$

Наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому условию, это $n=8$.
Проверим: $a_7 = 31 - 4 \times 7 = 3 > 0$, а $a_8 = 31 - 4 \times 8 = -1 < 0$.
Следовательно, члены прогрессии становятся отрицательными, начиная с восьмого номера.

Ответ: Начиная с 8-го номера.

Вычисляем по формуле (592-596)

592 Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. Запишите формулу её n-го члена и найдите $a_{15}$, $a_{26}$, $a_{101}$:

a) -14; -9; -4; ...;

б) 12; 6; 0; ... .

а) Дана арифметическая прогрессия ($a_n$): $-14; -9; -4; \dots$

Чтобы найти формулу n-го члена и вычислить указанные члены, нам нужно определить первый член ($a_1$) и разность прогрессии ($d$).

1. Определение $a_1$ и $d$
Первый член прогрессии $a_1 = -14$.
Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Вычислим ее, вычтя первый член из второго:
$d = a_2 - a_1 = -9 - (-14) = -9 + 14 = 5$.

2. Формула n-го члена
Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим найденные значения $a_1 = -14$ и $d = 5$:
$a_n = -14 + (n-1) \cdot 5$
Упростим выражение:
$a_n = -14 + 5n - 5$
$a_n = 5n - 19$.

3. Вычисление $a_{15}$, $a_{26}$ и $a_{101}$
Используем полученную формулу $a_n = 5n - 19$:
Для $n=15$: $a_{15} = 5 \cdot 15 - 19 = 75 - 19 = 56$.
Для $n=26$: $a_{26} = 5 \cdot 26 - 19 = 130 - 19 = 111$.
Для $n=101$: $a_{101} = 5 \cdot 101 - 19 = 505 - 19 = 486$.

Ответ: формула n-го члена: $a_n = 5n - 19$; $a_{15}=56$; $a_{26}=111$; $a_{101}=486$.

б) Дана арифметическая прогрессия ($a_n$): $12; 6; 0; \dots$

1. Определение $a_1$ и $d$
Первый член прогрессии $a_1 = 12$.
Вычислим разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 6 - 12 = -6$.

2. Формула n-го члена
Используем общую формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$ с нашими значениями $a_1 = 12$ и $d = -6$:
$a_n = 12 + (n-1) \cdot (-6)$
Упростим выражение:
$a_n = 12 - 6n + 6$
$a_n = 18 - 6n$.

3. Вычисление $a_{15}$, $a_{26}$ и $a_{101}$
Используем полученную формулу $a_n = 18 - 6n$:
Для $n=15$: $a_{15} = 18 - 6 \cdot 15 = 18 - 90 = -72$.
Для $n=26$: $a_{26} = 18 - 6 \cdot 26 = 18 - 156 = -138$.
Для $n=101$: $a_{101} = 18 - 6 \cdot 101 = 18 - 606 = -588$.

Ответ: формула n-го члена: $a_n = 18 - 6n$; $a_{15}=-72$; $a_{26}=-138$; $a_{101}=-588$.

593 В арифметической прогрессии ($y_n$) известны первый член $y_1$ и разность $d$. Найдите $y_{12}$ и $y_{20}$:

a) $y_1 = -9,9; d = 1,8;$

б) $y_1 = 10; d = -0,2.$

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $(y_n)$ используется формула:

$y_n = y_1 + (n-1)d$

где $y_1$ – первый член прогрессии, $d$ – разность прогрессии, а $n$ – номер искомого члена.

а)

Дано: $y_1 = -9,9$ и $d = 1,8$.

Чтобы найти 12-й член прогрессии, подставим в формулу $n=12$:

$y_{12} = y_1 + (12-1)d = -9,9 + 11 \cdot 1,8 = -9,9 + 19,8 = 9,9$.

Чтобы найти 20-й член прогрессии, подставим в формулу $n=20$:

$y_{20} = y_1 + (20-1)d = -9,9 + 19 \cdot 1,8 = -9,9 + 34,2 = 24,3$.

Ответ: $y_{12} = 9,9$; $y_{20} = 24,3$.

б)

Дано: $y_1 = 10$ и $d = -0,2$.

Чтобы найти 12-й член прогрессии, подставим в формулу $n=12$:

$y_{12} = y_1 + (12-1)d = 10 + 11 \cdot (-0,2) = 10 - 2,2 = 7,8$.

Чтобы найти 20-й член прогрессии, подставим в формулу $n=20$:

$y_{20} = y_1 + (20-1)d = 10 + 19 \cdot (-0,2) = 10 - 3,8 = 6,2$.

Ответ: $y_{12} = 7,8$; $y_{20} = 6,2$.

594 В арифметической прогрессии $(c_n)$ известны первый член $c_1$ и разность $d$. Найдите все её члены с пятнадцатого по двадцать третий включительно:

a) $c_1 = 3; d = -0,5;$

б) $c_1 = -1; d = 5.$

Для решения задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии $(c_n)$: $c_n = c_1 + (n-1)d$, где $c_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Задача состоит в том, чтобы найти члены прогрессии с пятнадцатого по двадцатый.

а)

Даны значения: $c_1 = 3$ и $d = -0,5$.

Сначала вычислим пятнадцатый член прогрессии ($c_{15}$):
$c_{15} = c_1 + (15-1)d = 3 + 14 \cdot (-0,5) = 3 - 7 = -4$.

Теперь, зная $c_{15}$, можно найти последующие члены, последовательно прибавляя разность $d = -0,5$:

$c_{16} = c_{15} + d = -4 + (-0,5) = -4,5$

$c_{17} = c_{16} + d = -4,5 + (-0,5) = -5$

$c_{18} = c_{17} + d = -5 + (-0,5) = -5,5$

$c_{19} = c_{18} + d = -5,5 + (-0,5) = -6$

$c_{20} = c_{19} + d = -6 + (-0,5) = -6,5$

Ответ: $c_{15}=-4; c_{16}=-4,5; c_{17}=-5; c_{18}=-5,5; c_{19}=-6; c_{20}=-6,5$.

б)

Даны значения: $c_1 = -1$ и $d = 5$.

Сначала вычислим пятнадцатый член прогрессии ($c_{15}$):
$c_{15} = c_1 + (15-1)d = -1 + 14 \cdot 5 = -1 + 70 = 69$.

Теперь, зная $c_{15}$, найдем остальные члены, прибавляя разность $d = 5$:

$c_{16} = c_{15} + d = 69 + 5 = 74$

$c_{17} = c_{16} + d = 74 + 5 = 79$

$c_{18} = c_{17} + d = 79 + 5 = 84$

$c_{19} = c_{18} + d = 84 + 5 = 89$

$c_{20} = c_{19} + d = 89 + 5 = 94$

Ответ: $c_{15}=69; c_{16}=74; c_{17}=79; c_{18}=84; c_{19}=89; c_{20}=94$.

595 Последовательность ($a_n$) — арифметическая прогрессия. Найдите:

а) $d$, если $a_1 = 11$, $a_{20} = 20,5$;

б) $a_1$, если $d = -3$, $a_{36} = -15$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.

а) Найти $d$, если $a_1 = 11, a_{20} = 20,5$.

Подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n = 20$:
$a_{20} = a_1 + (20-1)d$
$20,5 = 11 + 19d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$19d = 20,5 - 11$
$19d = 9,5$
$d = \frac{9,5}{19}$
$d = 0,5$

Ответ: $d = 0,5$.

б) Найти $a_1$, если $d = -3, a_{36} = -15$.

Снова используем формулу n-го члена, на этот раз для $n = 36$:
$a_{36} = a_1 + (36-1)d$
$-15 = a_1 + 35 \cdot (-3)$

Решим это уравнение, чтобы найти $a_1$:
$-15 = a_1 - 105$
$a_1 = 105 - 15$
$a_1 = 90$

Ответ: $a_1 = 90$.

596 a) Дана арифметическая прогрессия

$-12; -10.5; -9; -7.5; \dots$

Какой номер имеет член прогрессии, равный 48?

б) Первый член арифметической прогрессии равен 2,7, а разность равна -0,3. Какой номер имеет член этой прогрессии, равный -2,7?

а) Для того чтобы найти номер члена арифметической прогрессии, равного 48, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена, $d$ — разность прогрессии.

Из условия задачи нам даны первые члены прогрессии: -12; -10,5; -9; -7,5; ...

1. Найдем первый член прогрессии, $a_1$. Он равен первому числу в последовательности: $a_1 = -12$.

2. Найдем разность прогрессии, $d$, как разницу между вторым и первым членами: $d = a_2 - a_1 = -10,5 - (-12) = -10,5 + 12 = 1,5$.

3. Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии $a_n = 48$.

4. Подставим известные значения в формулу n-го члена:

$48 = -12 + (n-1) \cdot 1,5$

5. Решим полученное уравнение относительно $n$:

$48 + 12 = (n-1) \cdot 1,5$

$60 = (n-1) \cdot 1,5$

$n-1 = \frac{60}{1,5}$

$n-1 = 40$

$n = 40 + 1$

$n = 41$

Таким образом, член прогрессии, равный 48, имеет номер 41.

Ответ: 41

б) В этой задаче нам даны первый член арифметической прогрессии, ее разность и значение n-го члена. Нам нужно найти его номер $n$.

По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = 2,7$, разность прогрессии $d = -0,3$, а n-й член прогрессии $a_n = -2,7$.

Снова используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в формулу:

$-2,7 = 2,7 + (n-1) \cdot (-0,3)$

Решим полученное уравнение относительно $n$:

$-2,7 - 2,7 = (n-1) \cdot (-0,3)$

$-5,4 = (n-1) \cdot (-0,3)$

$n-1 = \frac{-5,4}{-0,3}$

$n-1 = 18$

$n = 18 + 1$

$n = 19$

Следовательно, член прогрессии, равный -2,7, имеет номер 19.

Ответ: 19