Страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

г) Изобразите точками координатной плоскости десять членов последовательности ($h_n$).

600 В школе-новостройке сейчас учатся 200 учеников. Допустим, что каждый год число учащихся будет увеличиваться на 20 человек.

а) Запишите формулу для вычисления числа учащихся в школе через $n$ лет.

б) Сколько учащихся будет в школе через 5 лет, если тенденция сохранится?

в) Школа рассчитана на обучение 340 учащихся. Через сколько лет будет достигнута норма?

г) Закончите построение столбчатой диаграммы, показав на ней прирост числа учащихся в течение следующих пяти лет (рис. 4.6).

Рис. 4.6

а) Запишите формулу для вычисления числа учащихся в школе через n лет.

Пусть $a_n$ — это число учащихся в школе через $n$ лет. Изначально, в текущий момент (через 0 лет, то есть при $n=0$), в школе учатся 200 учеников. Таким образом, начальный член последовательности $a_0 = 200$.

По условию, каждый год число учащихся увеличивается на 20 человек. Это означает, что последовательность числа учащихся $a_n$ является арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии $d = 20$.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии, если нумерация начинается с нуля, имеет вид:

$a_n = a_0 + n \cdot d$

Подставим известные значения $a_0 = 200$ и $d = 20$ в формулу:

$a_n = 200 + 20n$

Эта формула позволяет вычислить число учащихся в школе через любое количество лет $n$.

Ответ: $a_n = 200 + 20n$

б) Сколько учащихся будет в школе через 5 лет, если тенденция сохранится?

Чтобы найти число учащихся через 5 лет, воспользуемся формулой, полученной в пункте а), подставив в нее $n=5$.

$a_5 = 200 + 20 \cdot 5$

$a_5 = 200 + 100$

$a_5 = 300$

Следовательно, через 5 лет в школе будет 300 учащихся.

Ответ: 300 учащихся.

в) Школа рассчитана на обучение 340 учащихся. Через сколько лет будет достигнута норма?

Нам необходимо найти, через сколько лет $n$ число учащихся $a_n$ достигнет 340. Для этого приравняем формулу числа учащихся к 340 и решим получившееся уравнение относительно $n$.

$a_n = 340$

$200 + 20n = 340$

Вычтем 200 из обеих частей уравнения:

$20n = 340 - 200$

$20n = 140$

Разделим обе части на 20:

$n = \frac{140}{20}$

$n = 7$

Таким образом, проектная норма в 340 учащихся будет достигнута через 7 лет.

Ответ: через 7 лет.

г) Закончите построение столбчатой диаграммы, показав на ней прирост числа учащихся в течение следующих пяти лет (рис. 4.6).

На исходной диаграмме показаны столбцы для $n=0$ (200 учащихся) и $n=1$ (220 учащихся). Чтобы закончить построение, нужно рассчитать и добавить столбцы, показывающие число учащихся для следующих лет до $n=5$ включительно.

Вычислим значения числа учащихся для $n=2, 3, 4, 5$ по нашей формуле $a_n = 200 + 20n$:

Через 2 года ($n=2$): $a_2 = 200 + 20 \cdot 2 = 240$ учащихся.

Через 3 года ($n=3$): $a_3 = 200 + 20 \cdot 3 = 260$ учащихся.

Через 4 года ($n=4$): $a_4 = 200 + 20 \cdot 4 = 280$ учащихся.

Через 5 лет ($n=5$): $a_5 = 200 + 20 \cdot 5 = 300$ учащихся.

Для завершения диаграммы необходимо на оси $n$ отметить значения 2, 3, 4, 5 и построить для них столбцы, высоты которых будут соответствовать вычисленным значениям: 240, 260, 280 и 300. Каждый следующий столбец будет на 20 единиц выше предыдущего.

Ответ: Необходимо достроить на диаграмме столбцы для $n=2, 3, 4, 5$, высоты которых по оси $(a_n)$ будут равны 240, 260, 280 и 300 соответственно.

601 a) В арифметической прогрессии $(a_n)$ известны $a_{15} = 5$ и $a_{20} = 40$. Найдите разность и первый член этой арифметической прогрессии.

б) В арифметической прогрессии $(x_n)$ $x_{20} = 1,4$ и $x_{30} = 2,4$. Найдите разность и первый член этой арифметической прогрессии.

а)

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны два члена: $a_{15} = 5$ и $a_{20} = 40$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Используя эту формулу, мы можем записать систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a_{15} = a_1 + (15-1)d \\ a_{20} = a_1 + (20-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения:

$\begin{cases} 5 = a_1 + 14d \\ 40 = a_1 + 19d \end{cases}$

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 19d) - (a_1 + 14d) = 40 - 5$

$a_1 + 19d - a_1 - 14d = 35$

$5d = 35$

$d = \frac{35}{5} = 7$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$. Подставим значение $d=7$ в первое уравнение системы ($5 = a_1 + 14d$):

$5 = a_1 + 14 \cdot 7$

$5 = a_1 + 98$

$a_1 = 5 - 98$

$a_1 = -93$

Ответ: разность прогрессии равна 7, первый член равен -93.

б)

Дана арифметическая прогрессия $(x_n)$, в которой известны $x_{20} = 1,4$ и $x_{30} = 2,4$.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Запишем систему уравнений, используя формулу n-го члена $x_n = x_1 + (n-1)d$:

$\begin{cases} x_{20} = x_1 + (20-1)d \\ x_{30} = x_1 + (30-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения:

$\begin{cases} 1,4 = x_1 + 19d \\ 2,4 = x_1 + 29d \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(x_1 + 29d) - (x_1 + 19d) = 2,4 - 1,4$

$x_1 + 29d - x_1 - 19d = 1$

$10d = 1$

$d = \frac{1}{10} = 0,1$

Теперь найдем первый член $x_1$, подставив значение $d=0,1$ в первое уравнение ($1,4 = x_1 + 19d$):

$1,4 = x_1 + 19 \cdot 0,1$

$1,4 = x_1 + 1,9$

$x_1 = 1,4 - 1,9$

$x_1 = -0,5$

Ответ: разность прогрессии равна 0,1, первый член равен -0,5.

РАССУЖДАЕМ (602–607)

602 Известно, что $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Выразите:

1) $a_5$ и $a_{10}$ через $a_3$ и $d$;

2) $a_7$ и $a_{12}$ через $a_{10}$ и $d$;

3) $a_{n+2}$ и $a_{n-3}$ через $a_n$ и $d$.

Для решения задачи воспользуемся общей формулой для любого члена арифметической прогрессии $(a_n)$, которая позволяет выразить один член прогрессии через другой: $a_n = a_k + (n-k)d$, где $d$ — разность прогрессии.

1) Требуется выразить $a_5$ и $a_{10}$ через $a_3$ и $d$.
Для нахождения $a_5$, применим формулу, взяв $n=5$ и $k=3$:
$a_5 = a_3 + (5-3)d = a_3 + 2d$.
Для нахождения $a_{10}$, применим ту же формулу, взяв $n=10$ и $k=3$:
$a_{10} = a_3 + (10-3)d = a_3 + 7d$.
Ответ: $a_5 = a_3 + 2d$; $a_{10} = a_3 + 7d$.

2) Требуется выразить $a_7$ и $a_{12}$ через $a_{10}$ и $d$.
Для нахождения $a_7$, применим формулу, взяв $n=7$ и $k=10$:
$a_7 = a_{10} + (7-10)d = a_{10} - 3d$.
Для нахождения $a_{12}$, применим формулу, взяв $n=12$ и $k=10$:
$a_{12} = a_{10} + (12-10)d = a_{10} + 2d$.
Ответ: $a_7 = a_{10} - 3d$; $a_{12} = a_{10} + 2d$.

3) Требуется выразить $a_{n+2}$ и $a_{n-3}$ через $a_n$ и $d$.
Для нахождения $a_{n+2}$, применим формулу, где в качестве индекса искомого члена выступает $n+2$, а в качестве индекса известного члена — $n$:
$a_{n+2} = a_n + ((n+2)-n)d = a_n + 2d$.
Для нахождения $a_{n-3}$, применим формулу, где индекс искомого члена равен $n-3$, а индекс известного — $n$:
$a_{n-3} = a_n + ((n-3)-n)d = a_n - 3d$.
Ответ: $a_{n+2} = a_n + 2d$; $a_{n-3} = a_n - 3d$.

603 В арифметической прогрессии ($b_n$) третий член равен 10, а десятый член равен 12,1. Найдите все члены прогрессии ($b_n$), расположенные между ними.

Совет. Воспользуйтесь результатами, полученными в упражнении 602.

Дана арифметическая прогрессия $(b_n)$. По условию задачи известны ее третий и десятый члены: $b_3 = 10$ и $b_{10} = 12.1$. Требуется найти все члены прогрессии, расположенные между ними, то есть $b_4, b_5, b_6, b_7, b_8, b_9$.

Для нахождения членов арифметической прогрессии необходимо сначала определить ее разность $d$. Воспользуемся формулой для нахождения разности прогрессии через два ее известных члена $b_k$ и $b_m$:

$d = \frac{b_k - b_m}{k - m}$

Подставим в эту формулу наши значения, где $k=10$ и $m=3$:

$d = \frac{b_{10} - b_3}{10 - 3} = \frac{12.1 - 10}{7} = \frac{2.1}{7} = 0.3$

Теперь, зная разность прогрессии $d=0.3$, мы можем последовательно найти все интересующие нас члены, начиная с $b_4$. Каждый следующий член арифметической прогрессии получается путем прибавления разности $d$ к предыдущему члену ($b_{n+1} = b_n + d$).

$b_4 = b_3 + d = 10 + 0.3 = 10.3$
$b_5 = b_4 + d = 10.3 + 0.3 = 10.6$
$b_6 = b_5 + d = 10.6 + 0.3 = 10.9$
$b_7 = b_6 + d = 10.9 + 0.3 = 11.2$
$b_8 = b_7 + d = 11.2 + 0.3 = 11.5$
$b_9 = b_8 + d = 11.5 + 0.3 = 11.8$

Ответ: 10.3, 10.6, 10.9, 11.2, 11.5, 11.8.

604 а) Между числами 6 и 30 вставьте пять чисел так, чтобы вместе с данными они образовали арифметическую прогрессию.

б) Между числами -7 и 23 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными образовали арифметическую прогрессию.

а)

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. По условию, нам нужно вставить пять чисел между числами 6 и 30. Это означает, что число 6 будет первым членом прогрессии, а число 30 — последним.

Всего в прогрессии будет $5 + 2 = 7$ членов.

Итак, мы имеем:
Первый член прогрессии $a_1 = 6$.
Седьмой член прогрессии $a_7 = 30$.
Количество членов $n = 7$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим наши значения в формулу:
$a_7 = a_1 + (7-1)d$
$30 = 6 + 6d$

Решим полученное уравнение относительно $d$:
$6d = 30 - 6$
$6d = 24$
$d = \frac{24}{6}$
$d = 4$

Теперь, зная разность прогрессии, мы можем найти пять чисел, которые нужно вставить. Это будут члены прогрессии со второго по шестой:
$a_2 = a_1 + d = 6 + 4 = 10$
$a_3 = a_2 + d = 10 + 4 = 14$
$a_4 = a_3 + d = 14 + 4 = 18$
$a_5 = a_4 + d = 18 + 4 = 22$
$a_6 = a_5 + d = 22 + 4 = 26$

Проверим, что седьмой член равен 30:
$a_7 = a_6 + d = 26 + 4 = 30$. Всё верно.

Таким образом, искомая последовательность чисел: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.

Ответ: 10, 14, 18, 22, 26.

б)

Аналогично первому пункту, нам нужно вставить три числа между числами –7 и 23.

Всего в прогрессии будет $3 + 2 = 5$ членов.

Имеем:
Первый член прогрессии $a_1 = -7$.
Пятый член прогрессии $a_5 = 23$.
Количество членов $n = 5$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим наши значения:
$a_5 = a_1 + (5-1)d$
$23 = -7 + 4d$

Решим уравнение относительно $d$:
$4d = 23 - (-7)$
$4d = 23 + 7$
$4d = 30$
$d = \frac{30}{4}$
$d = 7.5$

Теперь найдем три числа, которые нужно вставить. Это будут второй, третий и четвертый члены прогрессии:
$a_2 = a_1 + d = -7 + 7.5 = 0.5$
$a_3 = a_2 + d = 0.5 + 7.5 = 8$
$a_4 = a_3 + d = 8 + 7.5 = 15.5$

Проверим, что пятый член равен 23:
$a_5 = a_4 + d = 15.5 + 7.5 = 23$. Всё верно.

Таким образом, искомая последовательность чисел: –7, 0.5, 8, 15.5, 23.

Ответ: 0.5, 8, 15.5.