Номер 602, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 602, страница 237.

РАССУЖДАЕМ (602–607)

602 Известно, что $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Выразите:

1) $a_5$ и $a_{10}$ через $a_3$ и $d$;

2) $a_7$ и $a_{12}$ через $a_{10}$ и $d$;

3) $a_{n+2}$ и $a_{n-3}$ через $a_n$ и $d$.

Для решения задачи воспользуемся общей формулой для любого члена арифметической прогрессии $(a_n)$, которая позволяет выразить один член прогрессии через другой: $a_n = a_k + (n-k)d$, где $d$ — разность прогрессии.

1) Требуется выразить $a_5$ и $a_{10}$ через $a_3$ и $d$.
Для нахождения $a_5$, применим формулу, взяв $n=5$ и $k=3$:
$a_5 = a_3 + (5-3)d = a_3 + 2d$.
Для нахождения $a_{10}$, применим ту же формулу, взяв $n=10$ и $k=3$:
$a_{10} = a_3 + (10-3)d = a_3 + 7d$.
Ответ: $a_5 = a_3 + 2d$; $a_{10} = a_3 + 7d$.

2) Требуется выразить $a_7$ и $a_{12}$ через $a_{10}$ и $d$.
Для нахождения $a_7$, применим формулу, взяв $n=7$ и $k=10$:
$a_7 = a_{10} + (7-10)d = a_{10} - 3d$.
Для нахождения $a_{12}$, применим формулу, взяв $n=12$ и $k=10$:
$a_{12} = a_{10} + (12-10)d = a_{10} + 2d$.
Ответ: $a_7 = a_{10} - 3d$; $a_{12} = a_{10} + 2d$.

3) Требуется выразить $a_{n+2}$ и $a_{n-3}$ через $a_n$ и $d$.
Для нахождения $a_{n+2}$, применим формулу, где в качестве индекса искомого члена выступает $n+2$, а в качестве индекса известного члена — $n$:
$a_{n+2} = a_n + ((n+2)-n)d = a_n + 2d$.
Для нахождения $a_{n-3}$, применим формулу, где индекс искомого члена равен $n-3$, а индекс известного — $n$:
$a_{n-3} = a_n + ((n-3)-n)d = a_n - 3d$.
Ответ: $a_{n+2} = a_n + 2d$; $a_{n-3} = a_n - 3d$.