Номер 609, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 609, страница 238.

609 Докажите, что если последовательность $ (a_n) $ — арифметическая прогрессия, то её члены, взятые через один, также образуют арифметическую прогрессию. Конкретизируйте это примером.

Доказательство

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По определению, для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$. Формула $n$-го члена этой прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Рассмотрим новую последовательность $(b_k)$, составленную из членов последовательности $(a_n)$, взятых через один. Это означает, что мы берем либо члены с нечетными номерами ($a_1, a_3, a_5, \dots$), либо члены с четными номерами ($a_2, a_4, a_6, \dots$).

Случай 1: Последовательность из членов с нечетными номерами.

Пусть новая последовательность $(b_k)$ состоит из членов $a_1, a_3, a_5, \dots$. Тогда $k$-й член этой последовательности равен $b_k = a_{2k-1}$. Чтобы доказать, что $(b_k)$ является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность $b_{k+1} - b_k$ является постоянной величиной для любого $k \geq 1$.

Выразим члены $b_k$ и $b_{k+1}$ через формулу $n$-го члена исходной прогрессии: $b_k = a_{2k-1} = a_1 + ((2k-1)-1)d = a_1 + (2k-2)d$. $b_{k+1} = a_{2(k+1)-1} = a_{2k+1} = a_1 + ((2k+1)-1)d = a_1 + 2kd$.

Теперь найдем их разность: $b_{k+1} - b_k = (a_1 + 2kd) - (a_1 + (2k-2)d) = a_1 + 2kd - a_1 - 2kd + 2d = 2d$.

Разность $b_{k+1} - b_k$ равна $2d$, что является постоянной величиной (так как $d$ — константа). Следовательно, последовательность членов с нечетными номерами является арифметической прогрессией с новой разностью $d' = 2d$.

Случай 2: Последовательность из членов с четными номерами.

Пусть новая последовательность $(c_k)$ состоит из членов $a_2, a_4, a_6, \dots$. Тогда $k$-й член этой последовательности равен $c_k = a_{2k}$. Аналогично найдем разность $c_{k+1} - c_k$: $c_{k+1} - c_k = a_{2(k+1)} - a_{2k} = a_{2k+2} - a_{2k}$.

Выразим через формулу $n$-го члена: $a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$. $a_{2k+2} = a_1 + (2k+2-1)d = a_1 + (2k+1)d$.

Найдем разность: $c_{k+1} - c_k = (a_1 + (2k+1)d) - (a_1 + (2k-1)d) = a_1 + 2kd + d - a_1 - 2kd + d = 2d$.

Разность также постоянна и равна $2d$. Следовательно, последовательность членов с четными номерами также является арифметической прогрессией с разностью $d'' = 2d$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что члены арифметической прогрессии, взятые через один, образуют новую арифметическую прогрессию, разность которой в два раза больше разности исходной прогрессии.

Конкретизация примером

Рассмотрим арифметическую прогрессию $(a_n)$ с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 5$. Запишем несколько первых членов этой прогрессии: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, ...

Теперь составим новую последовательность $(b_k)$, взяв из $(a_n)$ члены через один, начиная с первого ($a_1, a_3, a_5, \dots$): 2, 12, 22, 32, ...

Проверим, является ли $(b_k)$ арифметической прогрессией. Для этого найдем разность между соседними членами: $12 - 2 = 10$ $22 - 12 = 10$ $32 - 22 = 10$

Разность постоянна и равна 10. Значит, последовательность 2, 12, 22, 32, ... является арифметической прогрессией с первым членом $b_1 = 2$ и разностью $d' = 10$. Как и следовало из доказательства, новая разность $d'=10$ вдвое больше исходной $d=5$, то есть $d' = 2d$.

Ответ: Пример наглядно показывает, что последовательность, составленная из членов исходной арифметической прогрессии с $a_1=2$ и $d=5$, взятых через один, является арифметической прогрессией с разностью $d'=10=2 \cdot 5$.