Номер 607, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 607, страница 238.

607 В арифметической прогрессии $(y_n)$ известны пятый и шестой члены: $y_5 = -150$ и $y_6 = -147$. Сколько членов этой прогрессии отрицательны? Проверьте свой ответ.

Сколько членов этой прогрессии отрицательны?

Дано: арифметическая прогрессия $(y_n)$, где $y_5 = -150$ и $y_6 = -147$.

1. Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность прогрессии равна разности между любым ее членом и предыдущим.

$d = y_6 - y_5 = -147 - (-150) = -147 + 150 = 3$.

Разность прогрессии положительна ($d > 0$), значит, прогрессия является возрастающей.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $y_1$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $y_n = y_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения для $y_5$:

$y_5 = y_1 + (5-1)d$

$-150 = y_1 + 4 \cdot 3$

$-150 = y_1 + 12$

$y_1 = -150 - 12 = -162$.

3. Чтобы определить количество отрицательных членов, необходимо найти все номера $n$, для которых выполняется неравенство $y_n < 0$.

Подставим формулу n-го члена в неравенство:

$y_1 + (n-1)d < 0$

Подставим найденные значения $y_1 = -162$ и $d = 3$:

$-162 + (n-1) \cdot 3 < 0$

Решим это неравенство относительно $n$:

$3(n-1) < 162$

$n-1 < \frac{162}{3}$

$n-1 < 54$

$n < 55$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то все члены с номерами от 1 до 54 включительно будут отрицательными. Наибольший номер отрицательного члена — 54. Таким образом, всего в прогрессии 54 отрицательных члена.

Ответ: 54.

Проверьте свой ответ.

Для проверки необходимо убедиться, что 54-й член прогрессии ($y_{54}$) отрицателен, а 55-й член ($y_{55}$) — уже не является отрицательным (то есть равен нулю или положителен).

Вычислим $y_{54}$ по формуле n-го члена:

$y_{54} = y_1 + (54-1)d = -162 + 53 \cdot 3 = -162 + 159 = -3$.

Результат $y_{54} = -3$, и это число отрицательное, что соответствует нашему решению.

Теперь вычислим $y_{55}$:

$y_{55} = y_1 + (55-1)d = -162 + 54 \cdot 3 = -162 + 162 = 0$.

Результат $y_{55} = 0$, это число не является отрицательным. Все последующие члены будут положительными, так как разность прогрессии $d=3$ положительна (например, $y_{56} = y_{55} + d = 0 + 3 = 3$).

Таким образом, последний отрицательный член прогрессии — это $y_{54}$. Всего отрицательных членов 54. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: Проверка подтверждает, что в прогрессии 54 отрицательных члена.