Номер 612, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 612, страница 242.

ВЫЧИСЛЯЕМ ПО ФОРМУЛЕ (612–613)

612 Запишите сумму первых десяти членов данной арифметической прогрессии и вычислите её:

a) 0,2; 0,5; 0,8; ...;

б) -50; -35; -20; ... .

а) Для арифметической прогрессии 0,2; 0,5; 0,8; ...

Чтобы найти сумму первых десяти членов, нам нужно определить первый член ($a_1$) и разность прогрессии ($d$).

1. Первый член прогрессии: $a_1 = 0,2$.

2. Разность прогрессии — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее:

$d = a_2 - a_1 = 0,5 - 0,2 = 0,3$.

3. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

В нашем случае $n=10$. Подставим известные значения в формулу:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{0,4 + 0,3 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{0,4 + 2,7}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{3,1}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 1,55 \cdot 10 = 15,5$

Сумма первых десяти членов прогрессии в развернутом виде: $0,2 + 0,5 + 0,8 + 1,1 + 1,4 + 1,7 + 2,0 + 2,3 + 2,6 + 2,9$.

Ответ: 15,5.

б) Для арифметической прогрессии -50; -35; -20; ...

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Первый член прогрессии: $a_1 = -50$.

2. Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = -35 - (-50) = -35 + 50 = 15$.

3. Воспользуемся той же формулой для суммы первых $n$ членов при $n=10$:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим значения $a_1 = -50$, $d = 15$ и $n = 10$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-50) + 15 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-100 + 15 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-100 + 135}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{35}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 17,5 \cdot 10 = 175$

Сумма первых десяти членов прогрессии в развернутом виде: $(-50) + (-35) + (-20) + (-5) + 10 + 25 + 40 + 55 + 70 + 85$.

Ответ: 175.