Номер 615, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 615, страница 242.

615 Пользуясь формулой суммы первых $n$ натуральных чисел, выведенной в упражнении 614, б, выполните следующее задание:

а) найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 1500;

б) определите, сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 210.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых n натуральных чисел. Эта последовательность является арифметической прогрессией, сумма которой вычисляется по формуле:

$S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

а) найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 1500;

В этом задании требуется найти сумму первых 1500 натуральных чисел. Это значит, что количество членов последовательности n равно 1500.

Подставляем значение n = 1500 в формулу суммы:

$S_{1500} = \frac{1500 \cdot (1500 + 1)}{2} = \frac{1500 \cdot 1501}{2}$

Выполняем вычисления:

$S_{1500} = 750 \cdot 1501 = 1\,125\,750$

Ответ: 1 125 750.

б) определите, сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 210.

В этом задании известна сумма S_n = 210, и необходимо найти количество слагаемых n.

Подставим значение суммы в формулу и решим полученное уравнение относительно n:

$\frac{n(n+1)}{2} = 210$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 420$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 + n - 420 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Теперь найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 41}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 41}{2 \cdot 1} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку n обозначает количество натуральных чисел, оно должно быть положительным целым числом. Поэтому корень n_2 = -21 не является решением задачи.

Таким образом, необходимо сложить 20 последовательных натуральных чисел.

Ответ: 20.