Номер 620, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 620, страница 243.

620 Продолжительность прогулки грудного ребёнка в первый день составляет 20 мин. Затем она увеличивается ежедневно на 10 мин и доводится до 2 ч в день. На какой по счёту день длительность прогулки достигнет 2 ч и сколько всего времени за эти дни ребёнок проведёт на воздухе?

Данная задача решается с помощью формул арифметической прогрессии. Длительность прогулок по дням образует последовательность, где каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число.

• Первый член прогрессии $a_1$ (продолжительность прогулки в первый день) равен 20 мин.
• Разность прогрессии $d$ (ежедневное увеличение времени прогулки) равна 10 мин.
• Конечный член прогрессии $a_n$ (целевая продолжительность прогулки) составляет 2 часа. Переведем это время в минуты: $2 \text{ ч} = 2 \times 60 = 120$ мин.

На какой по счёту день длительность прогулки достигнет 2 ч

Чтобы определить номер дня $n$, в который длительность прогулки составит 120 минут, воспользуемся формулой для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Подставим в нее известные значения:
$120 = 20 + (n-1) \cdot 10$
Теперь решим уравнение относительно $n$:
$120 - 20 = (n-1) \cdot 10$
$100 = (n-1) \cdot 10$
$10 = n - 1$
$n = 11$
Следовательно, длительность прогулки достигнет 2 часов на 11-й день.
Ответ: на 11-й день.

и сколько всего времени за эти дни ребёнок проведёт на воздухе?

Чтобы найти суммарное время, которое ребёнок провел на воздухе за все эти дни, необходимо вычислить сумму первых 11 членов ($n=11$) данной арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим известные значения: $a_1 = 20$ мин, $a_{11} = 120$ мин, $n = 11$.
$S_{11} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 11$
$S_{11} = \frac{140}{2} \cdot 11$
$S_{11} = 70 \cdot 11 = 770$ мин.
Для удобства восприятия переведем общее время из минут в часы и минуты:
$770 \text{ мин} = 12 \times 60 \text{ мин} + 50 \text{ мин} = 12 \text{ ч } 50 \text{ мин}$.
Ответ: 12 ч 50 мин.