Номер 623, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 623, страница 243.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (623–629)

623 Найдите сумму:

а) всех натуральных чисел от 45 до 90;

б) всех целых чисел от -100 до -65;

в) всех двузначных чисел;

г) всех трёхзначных чисел.

а) Для нахождения суммы всех натуральных чисел от 45 до 90 мы имеем дело с арифметической прогрессией. В этой последовательности чисел первый член $a_1 = 45$, последний член $a_n = 90$, а разность прогрессии $d = 1$.
Сначала найдем количество членов в этой прогрессии по формуле $n = a_n - a_1 + 1$:
$n = 90 - 45 + 1 = 46$
Теперь используем формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{46} = \frac{45 + 90}{2} \cdot 46 = \frac{135}{2} \cdot 46 = 135 \cdot 23 = 3105$.
Ответ: 3105

б) Для нахождения суммы всех целых чисел от -100 до -65 мы также имеем дело с арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = -100$.
Последний член прогрессии $a_n = -65$.
Количество членов прогрессии $n$ найдем по формуле $n = a_n - a_1 + 1$:
$n = -65 - (-100) + 1 = -65 + 100 + 1 = 36$.
Сумму найдем по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{36} = \frac{-100 + (-65)}{2} \cdot 36 = \frac{-165}{2} \cdot 36 = -165 \cdot 18 = -2970$.
Ответ: -2970

в) Сумма всех двузначных чисел. Двузначные числа — это натуральные числа от 10 до 99 включительно. Эта последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член $a_1 = 10$.
Последний член $a_n = 99$.
Количество членов $n = 99 - 10 + 1 = 90$.
Находим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.
Ответ: 4905

г) Сумма всех трёхзначных чисел. Трёхзначные числа — это натуральные числа от 100 до 999 включительно. Это также арифметическая прогрессия.
Первый член $a_1 = 100$.
Последний член $a_n = 999$.
Количество членов $n = 999 - 100 + 1 = 900$.
Находим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$.
Ответ: 494550