Номер 627, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 627, страница 244.

б) всех натуральных чисел, кратных 4 и заключённых между 50 и 150;

в) всех натуральных чисел, меньших 100, которые не делятся на 5.

627 Треугольники, соответствующие треугольным числам, составляют пирамиду (рис. 4.7).

а) Сколько шаров в основании пирамиды, если она состоит из 8 слоёв?

б) Можно ли найти общее число шаров в пирамиде из 8 слоёв по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии? Сколько всего шаров в такой пирамиде?

Рис. 4.7

а) Количество шаров в основании пирамиды, состоящей из 8 слоёв, равно восьмому треугольному числу. Треугольное число с номером n — это сумма первых n натуральных чисел. Его можно найти по формуле $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Для основания пирамиды из 8 слоёв необходимо рассчитать $T_8$:

$T_8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$.

Или, используя формулу:

$T_8 = \frac{8 \cdot (8+1)}{2} = \frac{8 \cdot 9}{2} = \frac{72}{2} = 36$.

Ответ: В основании пирамиды 36 шаров.

б) Сначала ответим на первую часть вопроса: можно ли найти общее число шаров, используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии.

Для этого нужно проверить, образует ли количество шаров в каждом слое арифметическую прогрессию. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой разность между соседними членами постоянна.

Выпишем количество шаров в каждом из 8 слоев, начиная с верхнего (это треугольные числа от $T_1$ до $T_8$):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.

Теперь найдем разность между соседними членами этой последовательности:

$3 - 1 = 2$

$6 - 3 = 3$

$10 - 6 = 4$

Разности ($2, 3, 4, \dots$) не являются постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией, и использовать формулу для суммы ее членов нельзя.

Теперь найдем общее число шаров в пирамиде. Для этого нужно просто сложить количество шаров во всех 8 слоях:

$S_{общ} = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120$.

Ответ: Нет, найти общее число шаров по формуле суммы членов арифметической прогрессии нельзя, так как последовательность количеств шаров в слоях не является арифметической прогрессией. Всего в пирамиде 120 шаров.