Номер 632, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 632, страница 245.

632 а) В арифметической прогрессии $(a_n)$ $a_1 = 5$, $d = 4$. Найдите сумму всех членов этой прогрессии с 20-го по 30-й включительно.

б) В арифметической прогрессии $(a_n)$ $a_1 = 40$, $d = -3$. Найдите сумму всех членов этой прогрессии с 25-го по 35-й включительно.

а)

По условию дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 4$.

Требуется найти сумму всех членов этой прогрессии с 20-го по 30-й включительно. Обозначим эту сумму как $S$.

$S = a_{20} + a_{21} + \dots + a_{30}$.

Члены прогрессии с 20-го по 30-й также образуют арифметическую прогрессию. Для нахождения её суммы можно использовать формулу суммы для отрезка прогрессии: $S_{m,n} = \frac{a_m + a_n}{2} \cdot (n-m+1)$.

В нашем случае $m=20$, $n=30$. Количество членов в сумме равно $k = 30 - 20 + 1 = 11$.

Сначала найдем значения 20-го и 30-го членов прогрессии, используя общую формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для 20-го члена:

$a_{20} = a_1 + (20-1)d = 5 + 19 \cdot 4 = 5 + 76 = 81$.

Для 30-го члена:

$a_{30} = a_1 + (30-1)d = 5 + 29 \cdot 4 = 5 + 116 = 121$.

Теперь подставим найденные значения в формулу суммы:

$S = \frac{a_{20} + a_{30}}{2} \cdot k = \frac{81 + 121}{2} \cdot 11 = \frac{202}{2} \cdot 11 = 101 \cdot 11 = 1111$.

Ответ: 1111.

б)

По условию дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой первый член $a_1 = 40$ и разность $d = -3$.

Требуется найти сумму всех членов этой прогрессии с 25-го по 35-й включительно. Обозначим эту сумму как $S$.

$S = a_{25} + a_{26} + \dots + a_{35}$.

Количество членов в сумме равно $k = 35 - 25 + 1 = 11$.

Найдем значения 25-го и 35-го членов прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для 25-го члена:

$a_{25} = a_1 + (25-1)d = 40 + 24 \cdot (-3) = 40 - 72 = -32$.

Для 35-го члена:

$a_{35} = a_1 + (35-1)d = 40 + 34 \cdot (-3) = 40 - 102 = -62$.

Теперь вычислим сумму, используя формулу $S = \frac{a_{25} + a_{35}}{2} \cdot k$:

$S = \frac{-32 + (-62)}{2} \cdot 11 = \frac{-94}{2} \cdot 11 = -47 \cdot 11 = -517$.

Ответ: -517.