Номер 638, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 638, страница 245.

638 Известно, что четыре положительных чётных числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 100. Найдите эти числа. Сколько решений имеет задача?

Пусть четыре искомых положительных чётных числа, образующих арифметическую прогрессию, можно представить в виде $a - 3x$, $a - x$, $a + x$, $a + 3x$. В этом случае их среднее арифметическое равно $a$, а разность прогрессии равна $2x$.

Найдите эти числа.

Согласно условию задачи, сумма этих четырех чисел равна 100. Составим уравнение:
$(a - 3x) + (a - x) + (a + x) + (a + 3x) = 100$
$4a = 100$
$a = 25$

Теперь мы знаем, что наши числа имеют вид: $25 - 3x$, $25 - x$, $25 + x$, $25 + 3x$.

Все числа по условию являются чётными. Поскольку число 25 нечётное, то для того, чтобы результат сложения или вычитания с ним был чётным, второе число (в нашем случае $x$ и $3x$) должно быть нечётным. Если $x$ — нечётное целое число, то и $3x$ также будет нечётным. Следовательно, $x$ должно быть нечётным целым числом.

Также по условию все четыре числа — положительные. Это означает, что наименьшее из них должно быть строго больше нуля.
Если $x$ — положительное число, то наименьшим членом прогрессии будет $25 - 3x$.
$25 - 3x > 0 \implies 3x < 25 \implies x < \frac{25}{3} \approx 8.33$
Если $x$ — отрицательное число, то наименьшим членом прогрессии будет $25 + 3x$.
$25 + 3x > 0 \implies 3d > -25 \implies x > -\frac{25}{3} \approx -8.33$

Таким образом, нам нужно найти все нечётные целые числа $x$ в интервале от $-8.33$ до $8.33$.
Возможные значения для $x$: $\{-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7\}$.

Рассмотрим положительные значения $x$:
При $x=1$ получаем числа: $25-3=22$, $25-1=24$, $25+1=26$, $25+3=28$. Набор: {22, 24, 26, 28}.
При $x=3$ получаем числа: $25-9=16$, $25-3=22$, $25+3=28$, $25+9=34$. Набор: {16, 22, 28, 34}.
При $x=5$ получаем числа: $25-15=10$, $25-5=20$, $25+5=30$, $25+15=40$. Набор: {10, 20, 30, 40}.
При $x=7$ получаем числа: $25-21=4$, $25-7=18$, $25+7=32$, $25+21=46$. Набор: {4, 18, 32, 46}.

Если мы возьмём отрицательные значения $x$ (например, $x=-1$), то получим тот же набор чисел, но в убывающем порядке: $28, 26, 24, 22$. Поскольку задача просит найти сами числа, а не упорядоченную последовательность, отрицательные значения $x$ не дают новых решений.

Ответ: Существует четыре набора чисел, удовлетворяющих условию: {22, 24, 26, 28}; {16, 22, 28, 34}; {10, 20, 30, 40}; {4, 18, 32, 46}.

Сколько решений имеет задача?

Как было показано в ходе решения, существует 4 различных набора чисел, которые удовлетворяют всем условиям задачи. Каждый уникальный по модулю нечётный параметр $x$ ($1, 3, 5, 7$) приводит к уникальному набору чисел.

Ответ: Задача имеет 4 решения.