Номер 641, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 641, страница 252.

641 Запишите два предыдущих и два последующих члена геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $\frac{1}{5}$:

а) ...; 125; ...;

б) ...; $\frac{1}{5}$; ... .

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии.
Формула для нахождения следующего члена: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Формула для нахождения предыдущего члена: $b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$.
По условию задачи, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$.

а)

Дан член прогрессии, равный 125. Обозначим его как $b_n = 125$.

Чтобы найти два последующих члена, мы должны дважды умножить на знаменатель $q = \frac{1}{5}$:
Первый последующий член: $b_{n+1} = 125 \cdot \frac{1}{5} = 25$.
Второй последующий член: $b_{n+2} = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5$.

Чтобы найти два предыдущих члена, мы должны дважды разделить на знаменатель $q = \frac{1}{5}$ (что эквивалентно умножению на 5):
Первый предыдущий член: $b_{n-1} = \frac{125}{\frac{1}{5}} = 125 \cdot 5 = 625$.
Второй предыдущий член: $b_{n-2} = \frac{625}{\frac{1}{5}} = 625 \cdot 5 = 3125$.

Таким образом, искомый фрагмент прогрессии: ...; 3125; 625; 125; 25; 5; ...

Ответ: предыдущие члены: 3125, 625; последующие члены: 25, 5.

б)

Дан член прогрессии, равный $\frac{1}{5}$. Обозначим его как $b_n = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти два последующих члена, мы должны дважды умножить на знаменатель $q = \frac{1}{5}$:
Первый последующий член: $b_{n+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$.
Второй последующий член: $b_{n+2} = \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125}$.

Чтобы найти два предыдущих члена, мы должны дважды разделить на знаменатель $q = \frac{1}{5}$:
Первый предыдущий член: $b_{n-1} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}} = 1$.
Второй предыдущий член: $b_{n-2} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \cdot 5 = 5$.

Таким образом, искомый фрагмент прогрессии: ...; 5; 1; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{25}$; $\frac{1}{125}$; ...

Ответ: предыдущие члены: 5, 1; последующие члены: $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{125}$.