Номер 637, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 637, страница 245.

637 Найдите сумму, слагаемые которой являются членами арифметической прогрессии:

а) $2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 2n;$

б) $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2n - 1).$

а) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n

Слагаемые в данной сумме являются членами арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$.
Последний член прогрессии, который мы обозначим как $a_k$, равен $2n$.

Чтобы найти количество членов в прогрессии, воспользуемся формулой k-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$. Подставим известные значения:
$2n = 2 + (k-1) \cdot 2$
$2n = 2 + 2k - 2$
$2n = 2k$
$k = n$
Таким образом, в сумме ровно $n$ слагаемых.

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ можно найти по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим значения первого члена $a_1=2$ и последнего члена $a_n=2n$:
$S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n = n(n+1)$

Ответ: $n(n+1)$.

б) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1)

Слагаемые в этой сумме также являются членами арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$.
Последний член прогрессии, $a_k$, равен $2n - 1$.

Найдем количество членов $k$ в этой прогрессии, используя формулу k-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$.
$2n - 1 = 1 + (k-1) \cdot 2$
$2n - 1 = 1 + 2k - 2$
$2n - 1 = 2k - 1$
$2n = 2k$
$k = n$
Следовательно, это сумма первых $n$ членов данной прогрессии.

Для вычисления суммы $S_n$ используем формулу:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим значения $a_1=1$ и $a_n = 2n - 1$:
$S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$

Ответ: $n^2$.