Номер 644, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 644, страница 252.

644 Запишите первые шесть членов геометрической прогрессии ($b_n$), если известно, что:

а) $b_1 = -4, q = \frac{1}{2}$;

б) $b_1 = 0,001, q = -10$.

В каждом случае задайте прогрессию с помощью рекуррентной формулы и запишите формулу n-го члена для этой прогрессии.

а) Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = -4$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

1. Найдём первые шесть членов прогрессии.
Каждый следующий член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего на знаменатель $q$.
$b_1 = -4$
$b_2 = b_1 \cdot q = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$
$b_3 = b_2 \cdot q = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$
$b_4 = b_3 \cdot q = -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$b_5 = b_4 \cdot q = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$
$b_6 = b_5 \cdot q = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}$
Таким образом, первые шесть членов прогрессии: -4, -2, -1, -1/2, -1/4, -1/8.

2. Зададим прогрессию с помощью рекуррентной формулы.
Рекуррентная формула задает член прогрессии через предыдущий. Для геометрической прогрессии она имеет вид $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Нужно также указать первый член.
$b_1 = -4$, $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{1}{2}$ или $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$.

3. Запишем формулу n-го члена.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставляя наши значения, получаем:
$b_n = -4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

Ответ: Первые шесть членов: -4, -2, -1, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{8}$. Рекуррентная формула: $b_1 = -4$, $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$. Формула n-го члена: $b_n = -4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

б) Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = 0,001$ и знаменатель прогрессии $q = -10$.

1. Найдём первые шесть членов прогрессии.
$b_1 = 0,001$
$b_2 = b_1 \cdot q = 0,001 \cdot (-10) = -0,01$
$b_3 = b_2 \cdot q = -0,01 \cdot (-10) = 0,1$
$b_4 = b_3 \cdot q = 0,1 \cdot (-10) = -1$
$b_5 = b_4 \cdot q = -1 \cdot (-10) = 10$
$b_6 = b_5 \cdot q = 10 \cdot (-10) = -100$
Таким образом, первые шесть членов прогрессии: 0,001; -0,01; 0,1; -1; 10; -100.

2. Зададим прогрессию с помощью рекуррентной формулы.
Рекуррентная формула: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Для данного случая: $b_1 = 0,001$, $b_{n+1} = b_n \cdot (-10)$ или $b_{n+1} = -10b_n$.

3. Запишем формулу n-го члена.
Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставляя наши значения, получаем:
$b_n = 0,001 \cdot (-10)^{n-1}$.

Ответ: Первые шесть членов: 0,001; -0,01; 0,1; -1; 10; -100. Рекуррентная формула: $b_1 = 0,001$, $b_{n+1} = -10b_n$. Формула n-го члена: $b_n = 0,001 \cdot (-10)^{n-1}$.