Номер 650, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 650, страница 253.

МОДЕЛИРУЕМ (650–651)

650 Три фирмы А, В и С одновременно начали свою деятельность, и в первый год каждая из них получила доход 5 млн р. В последующие пять лет их доход рос так: в фирме А доход ежегодно увеличивался на 1 млн р.; в фирме В доход ежегодно возрастал в 1,8 раза; в фирме С доход ежегодно увеличивался в 1,5 раза. Какой из графиков соответствует каждой из этих ситуаций (рис. 4.11)? Для каждой из этих последовательностей запишите формулу n-го члена.

Рис. 4.11

y

Доход фирмы, млн р.

Год

651 Маятник, раскачиваясь, прошёл сначала расстояние, равное 50 см (рис. 4.12), а затем в каждое следующее движение — расстояние, составляющее 80% от пре-

Для решения задачи проанализируем рост дохода каждой фирмы отдельно. Пусть $n$ — номер года, а доход фирмы в $n$-ом году обозначим $y_n$ (в млн р.). По условию, доход каждой из фирм в первый год ($n=1$) составил 5 млн р., то есть $y_1 = 5$ для всех трех случаев.

Фирма А

Доход этой фирмы ежегодно увеличивался на постоянную величину в 1 млн р. Это означает, что последовательность годовых доходов является арифметической прогрессией. Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$, а ее разность $d = 1$. Формула n-го члена для арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим значения для фирмы А:
$a_n = 5 + (n-1) \cdot 1 = 5 + n - 1 = n + 4$.
Полученная зависимость является линейной. Рост дохода постоянный, что на графике соответствует самому медленному увеличению. Этому описанию соответствует график (3). Проверим точку для $n=6$: $a_6 = 6 + 4 = 10$. На графике (3) в точке $n=6$ значение дохода равно 10, что подтверждает наш вывод.

Ответ: фирме А соответствует график (3), формула n-го члена: $a_n = n + 4$.

Фирма В

Доход этой фирмы ежегодно возрастал в 1,8 раза. Это означает, что последовательность годовых доходов является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = 5$, а ее знаменатель $q = 1,8$. Формула n-го члена для геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим значения для фирмы B:
$b_n = 5 \cdot 1,8^{n-1}$.
Это экспоненциальный рост. Поскольку знаменатель прогрессии $q = 1,8$ является наибольшим среди всех фирм, рост дохода будет самым быстрым. На рисунке этому соответствует самый крутой график — график (1). Проверим точку для $n=6$: $b_6 = 5 \cdot 1,8^{6-1} = 5 \cdot 1,8^5 = 5 \cdot 18,89568 \approx 94,48$. На графике (1) в точке $n=6$ значение дохода приблизительно равно 95, что соответствует расчетному.

Ответ: фирме В соответствует график (1), формула n-го члена: $b_n = 5 \cdot 1,8^{n-1}$.

Фирма С

Доход этой фирмы ежегодно увеличивался в 1,5 раза, что также описывается геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $c_1 = 5$, а ее знаменатель $q = 1,5$. Формула n-го члена: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим значения для фирмы C:
$c_n = 5 \cdot 1,5^{n-1}$.
Рост также является экспоненциальным. Так как знаменатель $q=1,5$ больше, чем 1, но меньше, чем у фирмы В ($1,5 < 1,8$), то график роста дохода этой фирмы будет располагаться между графиками для фирм А и В. Этому условию соответствует график (2). Проверим точку для $n=6$: $c_6 = 5 \cdot 1,5^{6-1} = 5 \cdot 1,5^5 = 5 \cdot 7,59375 \approx 37,97$. На графике (2) в точке $n=6$ значение дохода приблизительно равно 38, что совпадает с расчетами.

Ответ: фирме С соответствует график (2), формула n-го члена: $c_n = 5 \cdot 1,5^{n-1}$.