Номер 656, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 656, страница 256.

b) Площадь какого по счету четырехугольника равна $6 \text{ см}^2$? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

12 см

Рис. 4.15

656 Сторона квадрата равна 12 см. Середины сторон квадрата являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. (рис. 4.15)

а) Площади первого, второго, третьего и т. д. квадратов образуют некоторую последовательность. Объясните, почему эта последовательность является геометрической прогрессией. Назовите несколько её членов. Запишите формулу $n$-го члена этой последовательности.

б) Запишите несколько членов последовательности, составленной из длин сторон квадратов. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Запишите формулу $n$-го члена этой последовательности.

а) Площади первого, второго, третьего и т. д. квадратов образуют некоторую последовательность. Объясните, почему эта последовательность является геометрической прогрессией. Назовите несколько её членов. Запишите формулу n-го члена этой последовательности.

Пусть $a_1$ — сторона первого квадрата, тогда его площадь $S_1 = a_1^2$. Согласно условию, $a_1 = 12$ см. Следовательно, площадь первого квадрата: $S_1 = 12^2 = 144$ см$^2$.

Вершины второго квадрата находятся в серединах сторон первого квадрата. Если сторона первого квадрата равна $a_1$, то отрезки от вершины первого квадрата до вершин второго квадрата по сторонам первого квадрата будут равны $a_1/2$. Сторона второго квадрата $a_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a_1/2$. По теореме Пифагора: $a_2^2 = \left(\frac{a_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{a_1}{2}\right)^2 = \frac{a_1^2}{4} + \frac{a_1^2}{4} = \frac{2a_1^2}{4} = \frac{a_1^2}{2}$. Следовательно, площадь второго квадрата $S_2 = a_2^2 = \frac{a_1^2}{2} = \frac{S_1}{2}$. $S_2 = \frac{144}{2} = 72$ см$^2$.

Аналогично, площадь третьего квадрата $S_3$ будет равна половине площади второго квадрата: $S_3 = \frac{S_2}{2} = \frac{72}{2} = 36$ см$^2$. Продолжая эту закономерность, площадь каждого последующего квадрата равна половине площади предыдущего квадрата.

Это означает, что отношение площади каждого члена последовательности к предыдущему члену является постоянным числом, равным $1/2$. По определению, последовательность, в которой отношение каждого члена к предыдущему является постоянным, называется геометрической прогрессией. Общий множитель (знаменатель прогрессии) $q = 1/2$.

Несколько членов последовательности площадей: $S_1 = 144$, $S_2 = 72$, $S_3 = 36$, $S_4 = 18$, $S_5 = 9$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $S_n = S_1 \cdot q^{n-1}$. Подставляя значения $S_1 = 144$ и $q = 1/2$, получаем: $S_n = 144 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Ответ:

б) Запишите несколько членов последовательности, составленной из длин сторон квадратов. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Запишите формулу n-го члена этой последовательности.

Длина стороны первого квадрата $a_1 = 12$ см.

Мы знаем из пункта а), что $a_2^2 = \frac{a_1^2}{2}$. Из этого следует, что $a_2 = \sqrt{\frac{a_1^2}{2}} = \frac{a_1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $a_2 = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Аналогично, $a_3 = \frac{a_2}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$ см.

Несколько членов последовательности длин сторон квадратов: $a_1 = 12$, $a_2 = 6\sqrt{2}$, $a_3 = 6$, $a_4 = 3\sqrt{2}$, $a_5 = 3$.

Отношение каждого члена этой последовательности к предыдущему равно $1/\sqrt{2}$: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{a_3}{a_2} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Так как это отношение постоянно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Формула $n$-го члена этой геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставляя значения $a_1 = 12$ и $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем: $a_n = 12 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$.

Ответ: