Номер 661, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 661, страница 257.

661 Является ли арифметической или геометрической прогрессией последовательность:

а) $x$; $x^2$; $x^3$; $x^4$; $x^5$; ..., где $x \neq 0$;

б) $x$; $x + 1$; $x + 2$; $x + 3$; $x + 4$; ...

в) $x$; $2x$; $3x$; $4x$; $5x$; ...

г) $x$; $ax$; $a^2x$; $a^3x$; $a^4x$; ..., где $x \neq 0$ и $a \neq 0$?

а) $x; x^2; x^3; x^4; x^5; ...$, где $x \neq 0$

Для определения типа прогрессии, необходимо проверить, является ли разность или отношение между последовательными членами постоянной величиной.

1. Проверка на арифметическую прогрессию.Найдем разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = x^2 - x = x(x-1)$
$d_2 = x^3 - x^2 = x^2(x-1)$
Для того, чтобы последовательность была арифметической прогрессией, необходимо, чтобы $d_1 = d_2$.
$x(x-1) = x^2(x-1)$
$x(x-1) - x^2(x-1) = 0$
$(x-x^2)(x-1) = 0$
$x(1-x)(x-1) = 0$
$-x(x-1)^2 = 0$
Это равенство истинно при $x=0$ или $x=1$. По условию задачи $x \neq 0$. Следовательно, последовательность является арифметической только при $x=1$. В этом случае все члены последовательности равны 1, а разность $d=0$.

2. Проверка на геометрическую прогрессию.Найдем отношение $q$ (знаменатель прогрессии) соседних членов:
$q_1 = \frac{x^2}{x} = x$
$q_2 = \frac{x^3}{x^2} = x$
Отношение соседних членов постоянно и равно $x$. Поскольку $x \neq 0$, знаменатель прогрессии $q=x$ существует и не равен нулю.
Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией для любого значения $x \neq 0$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=x$. В частном случае при $x=1$ она также является и арифметической прогрессией с разностью $d=0$.

б) $x; x + 1; x + 2; x + 3; x + 4; ...$

1. Проверка на арифметическую прогрессию.Найдем разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = (x+1) - x = 1$
$d_2 = (x+2) - (x+1) = 1$
$d_3 = (x+3) - (x+2) = 1$
Разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна 1. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d=1$.

2. Проверка на геометрическую прогрессию.Найдем отношение $q$ соседних членов:
$q_1 = \frac{x+1}{x}$
$q_2 = \frac{x+2}{x+1}$
Для того, чтобы последовательность была геометрической, необходимо, чтобы $q_1 = q_2$ (при условии $x \neq 0$ и $x \neq -1$).
$\frac{x+1}{x} = \frac{x+2}{x+1}$
$(x+1)^2 = x(x+2)$
$x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x$
$1 = 0$
Полученное равенство ложно. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором данная последовательность была бы геометрической.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=1$.

в) $x; 2x; 3x; 4x; 5x; ...$

1. Проверка на арифметическую прогрессию.Найдем разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = 2x - x = x$
$d_2 = 3x - 2x = x$
$d_3 = 4x - 3x = x$
Разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна $x$. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d=x$ для любого значения $x$.

2. Проверка на геометрическую прогрессию.Найдем отношение $q$ соседних членов (предполагая $x \neq 0$):
$q_1 = \frac{2x}{x} = 2$
$q_2 = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$
Поскольку $q_1 \neq q_2$ ($2 \neq \frac{3}{2}$), последовательность не является геометрической, если $x \neq 0$. Если $x=0$, то последовательность состоит из нулей ($0; 0; 0; ...$). Такая последовательность является арифметической ($d=0$), но не геометрической в строгом смысле, так как ее знаменатель $q = 0/0$ не определен.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=x$.

г) $x; ax; a^2x; a^3x; a^4x; ...$, где $x \neq 0$ и $a \neq 0$

1. Проверка на арифметическую прогрессию.Найдем разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = ax - x = x(a-1)$
$d_2 = a^2x - ax = ax(a-1)$
Для того, чтобы последовательность была арифметической, необходимо, чтобы $d_1 = d_2$.
$x(a-1) = ax(a-1)$
Поскольку $x \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $x$:
$a-1 = a(a-1)$
$a(a-1) - (a-1) = 0$
$(a-1)(a-1) = (a-1)^2 = 0$
Это равенство истинно только при $a=1$. Если $a=1$, последовательность принимает вид $x; x; x; ...$, что является арифметической прогрессией с разностью $d=0$.

2. Проверка на геометрическую прогрессию.Найдем отношение $q$ соседних членов:
$q_1 = \frac{ax}{x} = a$
$q_2 = \frac{a^2x}{ax} = a$
Отношение соседних членов постоянно и равно $a$. По условию $x \neq 0$ и $a \neq 0$, поэтому все члены последовательности отличны от нуля, а знаменатель прогрессии $q=a$ существует и не равен нулю.
Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией для любых заданных $x$ и $a$.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=a$. В частном случае при $a=1$ она также является и арифметической прогрессией с разностью $d=0$.