Номер 668, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 668, страница 261.

668 Во время колебательного движения расстояния, которые проходит маятник, уменьшаются с каждым следующим качанием. Если маятник движется так, как описано в задаче 651 из II. 4.4, то какое расстояние он пройдёт за 10 качаний?

Для решения данной задачи необходимо обратиться к условиям задачи 651, на которую дана ссылка. В задаче 651 указано, что расстояние, которое проходит маятник за первое качание, составляет 20 см, а за каждое следующее качание он проходит расстояние, равное 0,8 от предыдущего.

Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией, где каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Расстояния, проходимые маятником за каждое качание, являются членами этой прогрессии.

Определим параметры этой геометрической прогрессии:

Первый член прогрессии $b_1$ (расстояние за первое качание) равен 20 см.

Знаменатель прогрессии $q$, показывающий, во сколько раз уменьшается расстояние с каждым качанием, равен 0,8.

Нам необходимо найти общее расстояние, которое маятник пройдет за 10 качаний. Это расстояние является суммой первых 10 членов данной геометрической прогрессии ($S_{10}$).

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим в эту формулу наши значения: $n = 10$, $b_1 = 20$ и $q = 0,8$.

$S_{10} = \frac{20(1 - 0,8^{10})}{1 - 0,8}$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим знаменатель дроби:

$1 - 0,8 = 0,2$

Теперь вычислим $0,8^{10}$. Это можно сделать с помощью калькулятора:

$0,8^{10} \approx 0,107374$

Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для суммы:

$S_{10} \approx \frac{20(1 - 0,107374)}{0,2}$

$S_{10} \approx \frac{20 \cdot 0,892626}{0,2}$

Разделив 20 на 0,2, мы получим 100:

$S_{10} \approx 100 \cdot 0,892626$

$S_{10} \approx 89,2626$

Округлив результат до сотых, получаем, что маятник за 10 качаний пройдет расстояние примерно 89,26 см.

Ответ: $\approx 89,26$ см.