Номер 673, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 673, страница 262.

673 Вычислите:

а) $4 + 12 + 36 + \dots + 4 \cdot 3^9;$

б) $-3 - 6 - 12 - \dots - 3 \cdot 2^7;$

В) $1 - 2 + 4 - 8 + 16 - \dots - 2^9;$

Г) $3^0 - 3^1 + 3^2 - \dots + 3^{10}.$

а) Данная сумма $4 + 12 + 36 + ... + 4 \cdot 3^9$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 4$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{12}{4} = 3$. Общий вид члена прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}$. Последний член равен $4 \cdot 3^9$. Чтобы найти количество членов $n$ в сумме, приравняем общий член последнему: $4 \cdot 3^{n-1} = 4 \cdot 3^9$, откуда следует, что $n-1=9$, то есть $n=10$. Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим в нее найденные значения $b_1=4$, $q=3$ и $n=10$:$S_{10} = \frac{4(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{4(3^{10} - 1)}{2} = 2(3^{10} - 1)$.Вычислим значение $3^{10}$: $3^{10} = 59049$.Тогда сумма равна: $S_{10} = 2(59049 - 1) = 2 \cdot 59048 = 118096$.
Ответ: 118096

б) Сумма $-3 - 6 - 12 - ... - 3 \cdot 2^7$ является суммой членов геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = -3$. Знаменатель прогрессии $q$ равен: $q = \frac{-6}{-3} = 2$. Общий член прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -3 \cdot 2^{n-1}$. Последний член суммы равен $-3 \cdot 2^7$. Найдем количество членов $n$: $-3 \cdot 2^{n-1} = -3 \cdot 2^7$, откуда $n-1=7$ и $n=8$. Для вычисления суммы используем формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим значения $b_1=-3$, $q=2$ и $n=8$: $S_8 = \frac{-3(2^8 - 1)}{2 - 1} = -3(256 - 1) = -3 \cdot 255 = -765$.
Ответ: -765

в) Сумма $1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ... - 2^9$ является суммой членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-2}{1} = -2$. Общий член прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (-2)^{n-1}$. Последний член суммы равен $-2^9$. Найдем количество членов $n$: $(-2)^{n-1} = -2^9$. Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: $n-1=9$, откуда $n=10$. Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим значения $b_1=1$, $q=-2$ и $n=10$: $S_{10} = \frac{1 \cdot ((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1} = \frac{2^{10} - 1}{-3} = \frac{1024 - 1}{-3} = \frac{1023}{-3} = -341$.
Ответ: -341

г) Сумма $3^0 - 3^1 + 3^2 - ... + 3^{10}$ является суммой членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 3^0 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-3^1}{3^0} = \frac{-3}{1} = -3$. Общий член прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (-3)^{n-1}$. Последний член суммы равен $3^{10}$. Найдем количество членов $n$: $(-3)^{n-1} = 3^{10}$. Так как $(-3)^{n-1} = (-1)^{n-1} \cdot 3^{n-1}$, для равенства $3^{10}$ необходимо, чтобы $n-1$ было четным и равнялось 10. Отсюда $n-1=10$ и $n=11$. Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим значения $b_1=1$, $q=-3$ и $n=11$: $S_{11} = \frac{1 \cdot ((-3)^{11} - 1)}{-3 - 1} = \frac{-3^{11} - 1}{-4} = \frac{3^{11} + 1}{4}$. Вычислим $3^{11} = 3 \cdot 3^{10} = 177147$. Тогда сумма равна: $S_{11} = \frac{177147 + 1}{4} = \frac{177148}{4} = 44287$.
Ответ: 44287