Номер 666, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 666, страница 261.

666 Выпишите первые пять членов геометрической прогрессии (b_n), заданной формулой n-го члена, и найдите их сумму:

a)$b_n = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$;б)$b_n = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

а)

Дана формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$.

Это геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 6$ и знаменатель $q = \frac{2}{3}$.

Для нахождения первых пяти членов прогрессии подставим в формулу значения $n$ от 1 до 5:

$b_1 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{1-1} = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 6 \cdot 1 = 6$

$b_2 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2-1} = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$b_3 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3-1} = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

$b_4 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4-1} = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 6 \cdot \frac{8}{27} = \frac{48}{27} = \frac{16}{9}$

$b_5 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{5-1} = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{16}{81} = \frac{96}{81} = \frac{32}{27}$

Первые пять членов прогрессии: $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; \frac{32}{27}$.

Для нахождения суммы первых пяти членов $S_5$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим значения $b_1 = 6$, $q = \frac{2}{3}$, $n=5$:

$S_5 = \frac{6 \cdot \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{6 \cdot \left(1 - \frac{32}{243}\right)}{\frac{1}{3}} = \frac{6 \cdot \left(\frac{243-32}{243}\right)}{\frac{1}{3}} = \frac{6 \cdot \frac{211}{243}}{\frac{1}{3}} = 6 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = 18 \cdot \frac{211}{243} = \frac{18 \cdot 211}{243} = \frac{2 \cdot 211}{27} = \frac{422}{27}$.

Ответ: первые пять членов: $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; \frac{32}{27}$; их сумма: $\frac{422}{27}$.

б)

Дана формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

Это геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = -\frac{2}{81}$ и знаменатель $q = \frac{3}{2}$.

Для нахождения первых пяти членов прогрессии подставим в формулу значения $n$ от 1 до 5:

$b_1 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{1-1} = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^0 = -\frac{2}{81} \cdot 1 = -\frac{2}{81}$

$b_2 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2-1} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{81} = -\frac{1}{27}$

$b_3 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{3-1} = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{18}{324} = -\frac{1}{18}$

$b_4 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{4-1} = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{27}{8} = -\frac{54}{648} = -\frac{1}{12}$

$b_5 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{5-1} = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^4 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{81}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$

Первые пять членов прогрессии: $-\frac{2}{81}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{18}; -\frac{1}{12}; -\frac{1}{8}$.

Для нахождения суммы первых пяти членов $S_5$ воспользуемся формулой (удобной при $q>1$):

$S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Подставим значения $b_1 = -\frac{2}{81}$, $q = \frac{3}{2}$, $n=5$:

$S_5 = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^5 - 1\right)}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{243}{32} - 1\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{243-32}{32}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \frac{211}{32}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{81} \cdot \frac{211}{32} \cdot 2 = -\frac{4}{81} \cdot \frac{211}{32} = -\frac{4 \cdot 211}{81 \cdot 32} = -\frac{211}{81 \cdot 8} = -\frac{211}{648}$.

Ответ: первые пять членов: $-\frac{2}{81}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{18}; -\frac{1}{12}; -\frac{1}{8}$; их сумма: $-\frac{211}{648}$.