Номер 664, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 664, страница 261.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ (664–666)

664 a) Дана геометрическая прогрессия 3; 6; 12; ... . Найдите $S_6$; $S_n$.

б) Дана геометрическая прогрессия 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; ... . Найдите $S_8$; $S_n$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$, где первые члены равны 3; 6; 12; ...
Найдем первый член и знаменатель прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.
Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = 3$ и $q = 2$ в эту формулу, чтобы найти $S_n$ для данной прогрессии:

$S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{3(2^n - 1)}{1} = 3(2^n - 1)$.

Теперь найдем сумму первых 6 членов прогрессии $S_6$, подставив $n=6$ в полученную формулу:

$S_6 = 3(2^6 - 1) = 3(64 - 1) = 3 \cdot 63 = 189$.

Ответ: $S_6 = 189$; $S_n = 3(2^n - 1)$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$, где первые члены равны 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; ...
Найдем первый член и знаменатель прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии (удобнее использовать вариант для $|q|<1$):

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим наши значения $b_1 = 1$ и $q = \frac{1}{2}$ в эту формулу, чтобы найти $S_n$ для данной прогрессии:

$S_n = \frac{1(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1 - (\frac{1}{2})^n)$.

Теперь найдем сумму первых 8 членов прогрессии $S_8$, подставив $n=8$ в полученную формулу:

$S_8 = 2(1 - (\frac{1}{2})^8) = 2(1 - \frac{1}{256}) = 2(\frac{256 - 1}{256}) = 2 \cdot \frac{255}{256} = \frac{255}{128}$.

Это можно записать как смешанную дробь: $\frac{255}{128} = 1\frac{127}{128}$.

Ответ: $S_8 = \frac{255}{128}$; $S_n = 2(1 - (\frac{1}{2})^n)$.