Номер 671, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 671, страница 262.

671 Из одинаковых кубиков строится две ступенчатые фигуры (рис. 4.16). В первом случае столбики растут равномерно, а во втором высота каждого следующего столбика удваивается по сравнению с высотой предыдущего. Сколько кубиков потребуется для каждой из фигур, если в них содержится: по 8 столбиков; по $n$ столбиков?

Рис. 4.16

Для решения задачи проанализируем каждую фигуру отдельно.

В первой фигуре столбики растут равномерно, то есть высота каждого следующего столбика на 1 кубик больше предыдущего. Их высоты образуют последовательность натуральных чисел: 1, 2, 3, ... . Общее количество кубиков в такой фигуре — это сумма членов арифметической прогрессии. Для фигуры из $n$ столбиков общее количество кубиков равно сумме $1 + 2 + \dots + n$. Эта сумма вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Во второй фигуре высота каждого следующего столбика удваивается по сравнению с предыдущим. Их высоты образуют последовательность: $1, 2, 4, 8, \dots$ (то есть $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots$). Общее количество кубиков в такой фигуре — это сумма членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = 2$. Сумма первых $n$ членов такой прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

Теперь вычислим количество кубиков для заданных условий.

по 8 столбиков

Для первой фигуры (равномерный рост) подставляем $n=8$ в соответствующую формулу:

$S_8 = \frac{8(8+1)}{2} = \frac{8 \times 9}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Для второй фигуры (удвоение высоты) подставляем $n=8$ в соответствующую формулу:

$S_8 = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$

Ответ: для первой фигуры потребуется 36 кубиков, для второй — 255 кубиков.

по n столбиков

Для первой фигуры (равномерный рост) с $n$ столбиками количество кубиков выражается общей формулой:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Для второй фигуры (удвоение высоты) с $n$ столбиками количество кубиков выражается общей формулой:

$S_n = 2^n - 1$

Ответ: для первой фигуры потребуется $\frac{n(n+1)}{2}$ кубиков, для второй — $2^n - 1$ кубиков.