Номер 675, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 675, страница 263.

675 Фигура, изображённая на рисунке 4.17, состоит из прямоугольников, причём каждый следующий в 1,5 раза выше предыдущего. Найдите площадь фигуры, если она состоит из 5 прямоугольников; из n прямоугольников.

676 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Премиальный фонд 32 500 р. надо разделить между четырьмя сотрудниками так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. Сколько получит каждый?

677 а) В геометрической прогрессии

$(b_n)$ $b_4=\frac{3}{64}$, $q=\frac{1}{2}$. Найдите $S_8$.

б) Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, если её пятый член равен $-9$, а знаменатель равен $-3$.

Рис. 4.17

675.

Площади прямоугольников, из которых состоит фигура, образуют геометрическую прогрессию $(A_n)$.

Из рисунка 4.17 видно, что ширина каждого прямоугольника равна $1$. Высота первого прямоугольника (на интервале $x$ от $0$ до $1$) равна $1$. Следовательно, его площадь, которая является первым членом геометрической прогрессии, равна $A_1 = 1 \times 1 = 1$.

По условию, каждый следующий прямоугольник в $1,5$ раза выше предыдущего. Поскольку ширина у всех прямоугольников одинакова, их площади также будут отличаться в $1,5$ раза. Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии $q = 1,5$.

Общая площадь фигуры является суммой площадей прямоугольников, то есть суммой членов геометрической прогрессии. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{A_1(q^n - 1)}{q - 1}$

1) Найдем площадь фигуры, если она состоит из 5 прямоугольников. В этом случае $n=5$.

$S_5 = \frac{1 \cdot (1,5^5 - 1)}{1,5 - 1} = \frac{7,59375 - 1}{0,5} = \frac{6,59375}{0,5} = 13,1875$.

2) Найдем площадь фигуры, если она состоит из $n$ прямоугольников.

$S_n = \frac{1 \cdot (1,5^n - 1)}{1,5 - 1} = \frac{1,5^n - 1}{0,5} = 2(1,5^n - 1)$.

Ответ: площадь фигуры из 5 прямоугольников равна $13,1875$; площадь фигуры из $n$ прямоугольников равна $2(1,5^n - 1)$.

676.

Размеры премий для четырех сотрудников образуют геометрическую прогрессию. Обозначим премию первого сотрудника как $b_1$. По условию, каждый следующий получает в $1,5$ раза больше предыдущего, значит, знаменатель прогрессии $q = 1,5$.

Премии сотрудников:

• 1-й сотрудник: $b_1$
• 2-й сотрудник: $b_2 = b_1 \cdot 1,5$
• 3-й сотрудник: $b_3 = b_1 \cdot 1,5^2 = b_1 \cdot 2,25$
• 4-й сотрудник: $b_4 = b_1 \cdot 1,5^3 = b_1 \cdot 3,375$

Общий премиальный фонд — это сумма первых четырех членов этой прогрессии $S_4$, которая равна $32\,500$ р.

Найдем сумму $S_4$, используя формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$:

$S_4 = \frac{b_1(1,5^4 - 1)}{1,5 - 1} = \frac{b_1(5,0625 - 1)}{0,5} = \frac{b_1 \cdot 4,0625}{0,5} = 8,125 b_1$.

Составим и решим уравнение:

$8,125 b_1 = 32500$

$b_1 = \frac{32500}{8,125} = 4000$.

Таким образом, премия первого сотрудника составляет $4000$ р.

Теперь рассчитаем премии остальных сотрудников:

$b_2 = 4000 \cdot 1,5 = 6000$ р.

$b_3 = 6000 \cdot 1,5 = 9000$ р.

$b_4 = 9000 \cdot 1,5 = 13500$ р.

Проверка: $4000 + 6000 + 9000 + 13500 = 32500$ р.

Ответ: первый сотрудник получит $4000$ р., второй — $6000$ р., третий — $9000$ р., четвертый — $13500$ р.

677.

а)

В геометрической прогрессии $(b_n)$ даны четвертый член $b_4 = \frac{3}{64}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Требуется найти сумму первых восьми членов $S_8$.

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу $n$-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$.

$b_4 = b_1 q^3 \implies \frac{3}{64} = b_1 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = b_1 \cdot \frac{1}{8}$.

Отсюда $b_1 = \frac{3}{64} \cdot 8 = \frac{3}{8}$.

Теперь найдем сумму $S_8$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, которая удобна при $|q|<1$.

$S_8 = \frac{\frac{3}{8}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8}\left(1 - \frac{1}{256}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{255}{256}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{255}{256} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 255}{4 \cdot 256} = \frac{765}{1024}$.

Ответ: $S_8 = \frac{765}{1024}$.

б)

В геометрической прогрессии даны пятый член $b_5 = -9$ и знаменатель $q = -3$. Требуется найти сумму первых десяти членов $S_{10}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$:

$b_5 = b_1 q^4 \implies -9 = b_1 (-3)^4 = b_1 \cdot 81$.

Отсюда $b_1 = -\frac{9}{81} = -\frac{1}{9}$.

Теперь найдем сумму $S_{10}$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9}((-3)^{10} - 1)}{-3 - 1} = \frac{-\frac{1}{9}(3^{10} - 1)}{-4} = \frac{3^{10} - 1}{36}$.

Вычислим $3^{10}$: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{36} = \frac{59048}{36}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$S_{10} = \frac{59048 \div 4}{36 \div 4} = \frac{14762}{9}$.

Ответ: $S_{10} = \frac{14762}{9}$.