Номер 682, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 682, страница 264.

Ищем способ решения (682–683)

682 Упростите выражение:

а) $x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \ldots + x^{50}$, где $x \neq 0$ и $x \neq 1$;

б) $x + 2x + 3x + 4x + 5x + \ldots + 100x$;

в) $x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10} + \ldots + x^{100}$, где $x \neq 0$ и $x \neq \pm 1$;

г) $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{50}$.

Подсказка. В каждом случае найдите геометрическую или арифметическую прогрессию.

а)

Данное выражение $x + x^2 + x^3 + ... + x^{50}$ представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$. Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второй член на первый: $q = \frac{x^2}{x} = x$.

Количество членов в этой прогрессии равно степени последнего члена, то есть $n=50$.

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Условие $x \neq 1$ гарантирует, что знаменатель не равен нулю.

Подставляя наши значения $b_1 = x$, $q = x$ и $n = 50$, получаем:

$S_{50} = \frac{x(x^{50} - 1)}{x - 1}$

Ответ: $\frac{x(x^{50} - 1)}{x - 1}$

б)

В выражении $x + 2x + 3x + ... + 100x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1 + 2 + 3 + ... + 100)$

В скобках находится сумма первых 100 натуральных чисел, которая является суммой арифметической прогрессии. Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, последний член $a_{100} = 100$, а количество членов $n = 100$.

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$:

$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$

Теперь умножим полученную сумму на вынесенный за скобки $x$:

$5050 \cdot x = 5050x$

Ответ: $5050x$

в)

Выражение $x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^{100}$ является суммой членов геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = x^2$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{x^4}{x^2} = x^2$.

Чтобы найти количество членов $n$, воспользуемся формулой $n$-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Последний член $b_n = x^{100}$.

$x^{100} = x^2 \cdot (x^2)^{n-1} = x^2 \cdot x^{2n-2} = x^{2n}$

Из равенства показателей степеней получаем $100 = 2n$, откуда $n=50$.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Условие $x \neq \pm 1$ гарантирует, что $q = x^2 \neq 1$ и знаменатель не равен нулю.

Подставим наши значения $b_1 = x^2$, $q = x^2$ и $n = 50$:

$S_{50} = \frac{x^2((x^2)^{50} - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^2(x^{100} - 1)}{x^2 - 1}$

Ответ: $\frac{x^2(x^{100} - 1)}{x^2 - 1}$

г)

В выражении $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot ... \cdot x^{50}$ мы имеем произведение степеней с одинаковым основанием. По свойству степеней, при умножении показатели складываются:

$x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot ... \cdot x^{50} = x^{1+2+3+...+50}$

Показатель степени — это сумма арифметической прогрессии от 1 до 50. Здесь первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{50} = 50$, количество членов $n = 50$.

Найдем эту сумму по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$:

$S_{50} = \frac{(1 + 50) \cdot 50}{2} = \frac{51 \cdot 50}{2} = 51 \cdot 25 = 1275$

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$x^{1275}$

Ответ: $x^{1275}$