Номер 686, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 686, страница 267.

686 Семья Комаровых взяла в банке потребительский кредит 200 тыс. р. на 24 месяца и оформила страховку от несчастных случаев и болезней заёмщика, стоимость которой составляет 0,4% от первоначальной суммы кредита ежемесячно.

a) Сколько составят страховые выплаты Комаровых за один месяц? за $n$ месяцев после взятия кредита?

б) Через сколько месяцев выплаты за страховку превысят 10 тыс. р.?

а) Сколько составят страховые выплаты Комаровых за один месяц? за n месяцев после взятия кредита?

Для начала найдем размер ежемесячной страховой выплаты. По условию, она составляет 0,4% от первоначальной суммы кредита.

Первоначальная сумма кредита: $S_0 = 200 \text{ тыс. р.} = 200 000 \text{ рублей}$.

Процентная ставка по страховке в месяц: $p = 0,4\%$. Чтобы использовать ее в расчетах, переведем проценты в десятичную дробь: $0,4\% = \frac{0,4}{100} = 0,004$.

Ежемесячная выплата по страховке (обозначим ее как $V_1$) рассчитывается по формуле:

$V_1 = S_0 \cdot 0,004 = 200 000 \cdot 0,004 = 800 \text{ рублей}$.

Таким образом, страховые выплаты за один месяц составляют 800 рублей.

Сумма выплат за $n$ месяцев (обозначим ее как $V_n$) будет равна произведению ежемесячной выплаты на количество месяцев $n$, так как выплата является фиксированной:

$V_n = V_1 \cdot n = 800n \text{ рублей}$.

Ответ: страховые выплаты за один месяц составляют 800 рублей, а за $n$ месяцев — $800n$ рублей.

б) Через сколько месяцев выплаты за страховку превысят 10 тыс. р.?

Нам нужно определить, через какое количество месяцев $n$ общая сумма выплат за страховку $V_n$ превысит 10 тыс. рублей (то есть 10 000 рублей). Для этого составим и решим неравенство:

$V_n > 10 000$

Подставим формулу для $V_n$, полученную в пункте а):

$800n > 10 000$

Разделим обе части неравенства на 800:

$n > \frac{10 000}{800}$

$n > \frac{100}{8}$

$n > 12,5$

Так как количество месяцев $n$ является целым числом, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, равно 13. Следовательно, через 13 месяцев общая сумма выплат за страховку превысит 10 000 рублей.

Проверка:

• За 12 месяцев сумма выплат составит: $800 \cdot 12 = 9600$ рублей (не превышает 10 000 р.).
• За 13 месяцев сумма выплат составит: $800 \cdot 13 = 10400$ рублей (превышает 10 000 р.).

Ответ: через 13 месяцев.