Номер 692, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 692, страница 268.

692 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Виктор внёс на несколько лет 5000 р. на счёт, по которому начисляется 18% годовых. Вычислите:

а) каким будет доход по вкладу за первый год;

б) каким будет доход по вкладу за пятый год.

Разберите решение, представленное ниже, и примените аналогичные рассуждения для ответа на вопрос «б».

Вычислить доход по вкладу, например, за третий год можно двумя способами.

1-й способ. Сначала определим, сколько будет на его счёте через два года: $5000 \cdot 1,18^2 = 6962$ (р.).

Теперь найдём доход, который он получит от этой суммы в следующем году: $6962 \cdot 0,18 = 1253,16$ (р.).

2-й способ. Определим, сколько будет на его счёте через 2 года и через 3 года, и найдём разницу:

$5000 \cdot 1,18^2 = 6962$ (р.).

$5000 \cdot 1,18^3 = 8215,16$ (р.).

$8215,16 - 6962 = 1253,16$ (р.).

а) каким будет доход по вкладу за первый год
Доход по вкладу за первый год рассчитывается как процент от первоначальной суммы. Процентная ставка составляет 18%, что в десятичной форме равно 0,18.
Первоначальная сумма вклада: $5000$ р.
Доход за первый год вычисляется по формуле:
$Доход = Сумма \cdot Процентная \ ставка$
$5000 \cdot 0,18 = 900$ (р.).
Ответ: 900 р.

б) каким будет доход по вкладу за пятый год
Для вычисления дохода за пятый год воспользуемся двумя способами, аналогичными тем, что приведены в условии задачи для расчета дохода за третий год. При начислении сложных процентов сумма на вкладе ежегодно увеличивается в $(1 + 0,18) = 1,18$ раза.

1-й способ:
Сначала определим, какая сумма будет на счёте к началу пятого года (то есть по окончании четырех лет). Эта сумма будет являться базой для начисления процентов за пятый год.
Сумма на счёте через 4 года: $S_4 = 5000 \cdot 1,18^4$.
$S_4 = 5000 \cdot 1,93877776 = 9693,8888$ (р.).
Теперь найдём доход за пятый год, который представляет собой 18% от суммы на начало пятого года (т.е. на конец четвертого).
Доход за 5-й год: $9693,8888 \cdot 0,18 \approx 1744,90$ (р.).

2-й способ:
Определим, какая сумма будет на счёте через 4 года и через 5 лет, и найдём разницу между этими суммами. Эта разница и будет доходом, начисленным за пятый год.
Сумма на счёте через 4 года: $S_4 = 5000 \cdot 1,18^4 \approx 9693,89$ (р.).
Сумма на счёте через 5 лет: $S_5 = 5000 \cdot 1,18^5 \approx 5000 \cdot 2,28775776 \approx 11438,79$ (р.).
Доход за 5-й год — это разница между суммой на конец пятого года и суммой на конец четвертого года:
Доход за 5-й год: $I_5 = S_5 - S_4 = 11438,79 - 9693,89 = 1744,90$ (р.).
Можно также провести вычисления без промежуточных округлений, что подтверждает эквивалентность двух способов:
$I_5 = S_5 - S_4 = 5000 \cdot 1,18^5 - 5000 \cdot 1,18^4 = 5000 \cdot 1,18^4 \cdot (1,18 - 1) = (5000 \cdot 1,18^4) \cdot 0,18 = S_4 \cdot 0,18$.
Ответ: 1744,90 р.