Номер 697, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 697, страница 269.

697 Дмитрий взял кредит 25 000 р. на покупку мебели. При возврате кредита он, кроме взятой суммы, должен выплатить некоторый процент в зависимости от срока возврата долга. Ниже приведён расчёт, показывающий, сколько Дмитрий должен вернуть в зависимости от того, через какое время он сможет это сделать:

через 1 год — 27 500 р.;

через 2 года — 30 000 р.;

через 3 года — 32 500 р.;

через 4 года — 35 000 р.

На каких условиях ему предоставлен кредит — насчитываются простые или сложные проценты?

Какова процентная ставка кредита?

На каких условиях ему предоставлен кредит — насчитываются простые или сложные проценты?

Для ответа на этот вопрос проанализируем, как изменяется сумма долга с течением времени. Начальная сумма кредита, или основной долг, составляет $S = 25 \, 000$ рублей.

Рассчитаем сумму процентов, которая начисляется за каждый отдельный год:

• Сумма процентов за 1-й год: $27 \, 500 - 25 \, 000 = 2 \, 500$ рублей.
• Сумма процентов за 2-й год (сверх долга за 1-й год): $30 \, 000 - 27 \, 500 = 2 \, 500$ рублей.
• Сумма процентов за 3-й год (сверх долга за 2-й год): $32 \, 500 - 30 \, 000 = 2 \, 500$ рублей.
• Сумма процентов за 4-й год (сверх долга за 3-й год): $35 \, 000 - 32 \, 500 = 2 \, 500$ рублей.

Поскольку каждый год сумма долга увеличивается на одну и ту же фиксированную величину ($2 \, 500$ рублей), это означает, что проценты начисляются только на первоначальную сумму кредита. Такой способ начисления называется простыми процентами. При сложных процентах сумма ежегодного начисления увеличивалась бы, так как проценты начислялись бы и на ранее накопленные проценты.

Ответ: На кредит начисляются простые проценты.

Какова процентная ставка кредита?

Процентная ставка определяется как отношение суммы процентов, начисленных за один год, к основной сумме долга, выраженное в процентах. Мы уже установили, что ежегодное начисление процентов составляет $2 \, 500$ рублей при основной сумме долга $25 \, 000$ рублей.

Рассчитаем годовую процентную ставку $r$:

$r = \frac{\text{сумма процентов за год}}{\text{основная сумма долга}} \times 100\% = \frac{2 \, 500}{25 \, 000} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Для проверки можно использовать формулу простых процентов для итоговой суммы $A_n$ через $n$ лет: $A_n = S \cdot (1 + n \cdot r)$, где $S$ - начальная сумма, $r$ - годовая ставка в долях.

При $r = 0.1$ (что соответствует 10%):

• Через 1 год: $25 \, 000 \cdot (1 + 1 \cdot 0.1) = 25 \, 000 \cdot 1.1 = 27 \, 500$ рублей.
• Через 2 года: $25 \, 000 \cdot (1 + 2 \cdot 0.1) = 25 \, 000 \cdot 1.2 = 30 \, 000$ рублей.
• Через 3 года: $25 \, 000 \cdot (1 + 3 \cdot 0.1) = 25 \, 000 \cdot 1.3 = 32 \, 500$ рублей.
• Через 4 года: $25 \, 000 \cdot (1 + 4 \cdot 0.1) = 25 \, 000 \cdot 1.4 = 35 \, 000$ рублей.

Результаты полностью совпадают с данными из условия.

Ответ: Процентная ставка кредита составляет 10% годовых.