Номер 699, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.6. Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 699, страница 270.

699 Виктор вложил на десять лет по 5000 р. на два разных счёта — с 10% годовых и 20% годовых.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год?

Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвёртый год?

Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

Для решения задачи воспользуемся формулой сложных процентов: $S_n = S_0 (1 + p)^n$, где $S_n$ — итоговая сумма через $n$ лет, $S_0$ — начальная сумма вклада, $p$ — годовая процентная ставка в долях.

Доход за конкретный, $n$-й год, вычисляется как процент от суммы, которая была на счете к концу $(n-1)$-го года. То есть, $Д_n = S_{n-1} \times p = (S_0 (1+p)^{n-1}) \times p$.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

Доход за первый год ($n=1$) вычисляется от первоначальной суммы вклада $S_0 = 5000$ р.

Для первого счета (10% годовых, $p_1 = 0.1$):
Доход за первый год: $Д_{1,1} = 5000 \times 0.1 = 500$ р.

Для второго счета (20% годовых, $p_2 = 0.2$):
Доход за первый год: $Д_{2,1} = 5000 \times 0.2 = 1000$ р.

Теперь найдем, во сколько раз доход по второму вкладу больше дохода по первому:
Отношение доходов = $\frac{Д_{2,1}}{Д_{1,1}} = \frac{1000}{500} = 2$.

Ответ: Доход по первому счету через год составит 500 р., по второму — 1000 р. Доход по второму вкладу будет больше в 2 раза.

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвёртый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Доход за четвертый год ($n=4$) вычисляется как процент от суммы, которая была на счете к концу третьего года ($n-1=3$).

Для первого счета (10% годовых):
Сумма на счете к концу 3-го года: $S_{1,3} = 5000 \times (1 + 0.1)^3 = 5000 \times 1.1^3 = 5000 \times 1.331 = 6655$ р.
Доход за 4-й год: $Д_{1,4} = S_{1,3} \times 0.1 = 6655 \times 0.1 = 665.5$ р.

Для второго счета (20% годовых):
Сумма на счете к концу 3-го года: $S_{2,3} = 5000 \times (1 + 0.2)^3 = 5000 \times 1.2^3 = 5000 \times 1.728 = 8640$ р.
Доход за 4-й год: $Д_{2,4} = S_{2,3} \times 0.2 = 8640 \times 0.2 = 1728$ р.

Теперь найдем отношение доходов за четвертый год:
Отношение доходов = $\frac{Д_{2,4}}{Д_{1,4}} = \frac{1728}{665.5} = \frac{17280}{6655} = \frac{3456}{1331} \approx 2.5965$.

Ответ: Доход по первому счету за четвертый год составит 665,5 р., по второму — 1728 р. Доход по второму вкладу больше, чем по первому, примерно в 2,6 раза.

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

Да, отношение ежегодных доходов будет увеличиваться с течением времени. Чтобы понять почему, выведем общую формулу для отношения доходов за $n$-й год.

Доход за $n$-й год по первому вкладу: $Д_{1,n} = S_0 (1+p_1)^{n-1} \times p_1$.
Доход за $n$-й год по второму вкладу: $Д_{2,n} = S_0 (1+p_2)^{n-1} \times p_2$.

Отношение доходов за $n$-й год:
$\frac{Д_{2,n}}{Д_{1,n}} = \frac{S_0 (1+p_2)^{n-1} p_2}{S_0 (1+p_1)^{n-1} p_1} = \frac{p_2}{p_1} \left( \frac{1+p_2}{1+p_1} \right)^{n-1}$.

Подставив наши значения $p_1=0.1$ и $p_2=0.2$, получаем:
$\frac{Д_{2,n}}{Д_{1,n}} = \frac{0.2}{0.1} \left( \frac{1+0.2}{1+0.1} \right)^{n-1} = 2 \left( \frac{1.2}{1.1} \right)^{n-1}$.

Множитель $\left( \frac{1.2}{1.1} \right)$ больше единицы. При увеличении показателя степени $n-1$ (то есть с каждым годом) значение выражения $\left( \frac{1.2}{1.1} \right)^{n-1}$ будет расти. Следовательно, и все отношение будет увеличиваться.

Причина в том, что при использовании сложных процентов доход каждый год начисляется на всё большую сумму. Поскольку у второго вклада процентная ставка выше, сумма на счете (база для начисления процентов) растет быстрее, чем на первом. Этот опережающий рост базы и приводит к тому, что отношение годовых доходов со временем увеличивается.

Ответ: Да, отношение ежегодных доходов будет увеличиваться. Это происходит потому, что проценты начисляются на постоянно растущую сумму (сложные проценты), и вклад с большей процентной ставкой растет быстрее. Следовательно, база для начисления процентов в следующем году у второго вклада увеличивается в большей степени, чем у первого, что и приводит к росту отношения годовых доходов.