Страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

699 Виктор вложил на десять лет по 5000 р. на два разных счёта — с 10% годовых и 20% годовых.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год?

Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвёртый год?

Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

Для решения задачи воспользуемся формулой сложных процентов: $S_n = S_0 (1 + p)^n$, где $S_n$ — итоговая сумма через $n$ лет, $S_0$ — начальная сумма вклада, $p$ — годовая процентная ставка в долях.

Доход за конкретный, $n$-й год, вычисляется как процент от суммы, которая была на счете к концу $(n-1)$-го года. То есть, $Д_n = S_{n-1} \times p = (S_0 (1+p)^{n-1}) \times p$.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

Доход за первый год ($n=1$) вычисляется от первоначальной суммы вклада $S_0 = 5000$ р.

Для первого счета (10% годовых, $p_1 = 0.1$):
Доход за первый год: $Д_{1,1} = 5000 \times 0.1 = 500$ р.

Для второго счета (20% годовых, $p_2 = 0.2$):
Доход за первый год: $Д_{2,1} = 5000 \times 0.2 = 1000$ р.

Теперь найдем, во сколько раз доход по второму вкладу больше дохода по первому:
Отношение доходов = $\frac{Д_{2,1}}{Д_{1,1}} = \frac{1000}{500} = 2$.

Ответ: Доход по первому счету через год составит 500 р., по второму — 1000 р. Доход по второму вкладу будет больше в 2 раза.

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвёртый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Доход за четвертый год ($n=4$) вычисляется как процент от суммы, которая была на счете к концу третьего года ($n-1=3$).

Для первого счета (10% годовых):
Сумма на счете к концу 3-го года: $S_{1,3} = 5000 \times (1 + 0.1)^3 = 5000 \times 1.1^3 = 5000 \times 1.331 = 6655$ р.
Доход за 4-й год: $Д_{1,4} = S_{1,3} \times 0.1 = 6655 \times 0.1 = 665.5$ р.

Для второго счета (20% годовых):
Сумма на счете к концу 3-го года: $S_{2,3} = 5000 \times (1 + 0.2)^3 = 5000 \times 1.2^3 = 5000 \times 1.728 = 8640$ р.
Доход за 4-й год: $Д_{2,4} = S_{2,3} \times 0.2 = 8640 \times 0.2 = 1728$ р.

Теперь найдем отношение доходов за четвертый год:
Отношение доходов = $\frac{Д_{2,4}}{Д_{1,4}} = \frac{1728}{665.5} = \frac{17280}{6655} = \frac{3456}{1331} \approx 2.5965$.

Ответ: Доход по первому счету за четвертый год составит 665,5 р., по второму — 1728 р. Доход по второму вкладу больше, чем по первому, примерно в 2,6 раза.

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

Да, отношение ежегодных доходов будет увеличиваться с течением времени. Чтобы понять почему, выведем общую формулу для отношения доходов за $n$-й год.

Доход за $n$-й год по первому вкладу: $Д_{1,n} = S_0 (1+p_1)^{n-1} \times p_1$.
Доход за $n$-й год по второму вкладу: $Д_{2,n} = S_0 (1+p_2)^{n-1} \times p_2$.

Отношение доходов за $n$-й год:
$\frac{Д_{2,n}}{Д_{1,n}} = \frac{S_0 (1+p_2)^{n-1} p_2}{S_0 (1+p_1)^{n-1} p_1} = \frac{p_2}{p_1} \left( \frac{1+p_2}{1+p_1} \right)^{n-1}$.

Подставив наши значения $p_1=0.1$ и $p_2=0.2$, получаем:
$\frac{Д_{2,n}}{Д_{1,n}} = \frac{0.2}{0.1} \left( \frac{1+0.2}{1+0.1} \right)^{n-1} = 2 \left( \frac{1.2}{1.1} \right)^{n-1}$.

Множитель $\left( \frac{1.2}{1.1} \right)$ больше единицы. При увеличении показателя степени $n-1$ (то есть с каждым годом) значение выражения $\left( \frac{1.2}{1.1} \right)^{n-1}$ будет расти. Следовательно, и все отношение будет увеличиваться.

Причина в том, что при использовании сложных процентов доход каждый год начисляется на всё большую сумму. Поскольку у второго вклада процентная ставка выше, сумма на счете (база для начисления процентов) растет быстрее, чем на первом. Этот опережающий рост базы и приводит к тому, что отношение годовых доходов со временем увеличивается.

Ответ: Да, отношение ежегодных доходов будет увеличиваться. Это происходит потому, что проценты начисляются на постоянно растущую сумму (сложные проценты), и вклад с большей процентной ставкой растет быстрее. Следовательно, база для начисления процентов в следующем году у второго вклада увеличивается в большей степени, чем у первого, что и приводит к росту отношения годовых доходов.

700 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Николай и Сергей вложили по 3000 р. в разные банки. У Николая годовой доход составляет 10%, а у Сергея — 5%. Верно ли, что:

а) доход Николая через год будет в 2 раза больше, чем доход Сергея;

б) доход Николая будет через 3 года в 2 раза больше, чем доход Сергея?

Для решения задачи будем использовать формулу сложных процентов, так как вклады сделаны в банки, где проценты, как правило, капитализируются (начисляются на уже накопленную сумму). Сумма вклада (капитал) через $t$ лет вычисляется по формуле:

$A = P(1 + r)^t$,

где $P$ — первоначальный вклад, $r$ — годовая процентная ставка (в виде десятичной дроби), $t$ — количество лет.

Доход (сумма начисленных процентов) за $t$ лет равен разнице между итоговой суммой и первоначальным вкладом:

$Д = A - P = P((1 + r)^t - 1)$.

Исходные данные:

• Первоначальный вклад Николая и Сергея: $P = 3000$ р.
• Годовая ставка у Николая: $r_Н = 10\% = 0.1$
• Годовая ставка у Сергея: $r_С = 5\% = 0.05$

а) доход Николая через год будет в 2 раза больше, чем доход Сергея;

Найдем доход каждого через 1 год ($t=1$).

Доход Николая:

$Д_Н = 3000 \cdot ((1 + 0.1)^1 - 1) = 3000 \cdot (1.1 - 1) = 3000 \cdot 0.1 = 300$ р.

Доход Сергея:

$Д_С = 3000 \cdot ((1 + 0.05)^1 - 1) = 3000 \cdot (1.05 - 1) = 3000 \cdot 0.05 = 150$ р.

Теперь сравним их доходы:

$\frac{Д_Н}{Д_С} = \frac{300}{150} = 2$.

Доход Николая действительно в 2 раза больше дохода Сергея через год.

Ответ: верно.

б) доход Николая будет через 3 года в 2 раза больше, чем доход Сергея?

Найдем совокупный доход каждого за 3 года ($t=3$), используя ту же формулу сложных процентов.

Доход Николая за 3 года:

$Д_Н = 3000 \cdot ((1 + 0.1)^3 - 1) = 3000 \cdot (1.1^3 - 1) = 3000 \cdot (1.331 - 1) = 3000 \cdot 0.331 = 993$ р.

Доход Сергея за 3 года:

$Д_С = 3000 \cdot ((1 + 0.05)^3 - 1) = 3000 \cdot (1.05^3 - 1) = 3000 \cdot (1.157625 - 1) = 3000 \cdot 0.157625 = 472.875$ р.

Теперь сравним их доходы за 3 года:

$\frac{Д_Н}{Д_С} = \frac{993}{472.875} \approx 2.0999...$

Отношение их доходов не равно 2. Доход Николая будет примерно в 2.1 раза больше дохода Сергея, но не ровно в 2 раза.

Ответ: неверно.

701 Валентин внёс 1200 р. на вклад «Молодёжный». Условия вклада таковы: его можно снять не ранее чем через три месяца; к концу этого срока на вложенную сумму начисляется $3\%$; если вклад или проценты не снимаются, то договор автоматически продлевается на следующие три месяца и процент начисляется на всю сумму, имеющуюся на вкладе.

а) Определите доход Валентина за год в двух случаях: если он будет каждые три месяца снимать проценты и если он в течение года не будет снимать проценты.

б) Сколько процентов первоначального вклада составит годовой доход Валентина в первом случае и сколько — во втором?

а) Определите доход Валентина за год в двух случаях: если он будет каждые три месяца снимать проценты и если он в течение года не будет снимать проценты.

Первоначальная сумма вклада составляет $S_0 = 1200$ рублей. Процентная ставка $r = 3\%$ или $0,03$ начисляется каждые три месяца. В году 12 месяцев, следовательно, начисление процентов произойдет $n = 12 / 3 = 4$ раза.

Случай 1: Валентин каждые три месяца снимает проценты.
В этом случае проценты каждый раз начисляются на первоначальную сумму вклада (простые проценты). Доход за один трехмесячный период составляет:
$I_{квартал} = 1200 \times 0,03 = 36$ рублей.
Поскольку в году 4 таких периода, общий годовой доход составит:
$I_{год_1} = 36 \times 4 = 144$ рубля.

Случай 2: Валентин в течение года не снимает проценты.
В этом случае проценты начисляются на всю сумму, находящуюся на счете, включая ранее начисленные проценты (сложные проценты). Итоговая сумма на вкладе через год рассчитывается по формуле сложных процентов $S_{n} = S_0 \times (1 + r)^n$:
$S_{год} = 1200 \times (1 + 0,03)^4 = 1200 \times (1,03)^4 \approx 1200 \times 1,12550881 \approx 1350,61$ рубля.
Годовой доход — это разница между итоговой суммой и первоначальным вкладом:
$I_{год_2} = 1350,61 - 1200 = 150,61$ рубля.
Ответ: доход Валентина за год в первом случае составит 144 рубля, а во втором — 150,61 рубля.

б) Сколько процентов первоначального вклада составит годовой доход Валентина в первом случае и сколько — во втором?

В первом случае:
Годовой доход составил 144 рубля при первоначальном вкладе 1200 рублей. В процентах от первоначального вклада это составляет:
$\frac{144}{1200} \times 100\% = 0,12 \times 100\% = 12\%$.

Во втором случае:
Годовой доход составил 150,61 рубля при первоначальном вкладе 1200 рублей. В процентах от первоначального вклада это составляет:
$\frac{150,61}{1200} \times 100\% \approx 0,1255 \times 100\% = 12,55\%$.
Ответ: в первом случае годовой доход составит 12% от первоначального вклада, а во втором — примерно 12,55%.

702 После окончания университета дипломник имеет возможность получить одну из двух работ. На одной из них его годовой заработок в первый год составит 150 000 р., а затем ежегодно будет увеличиваться на 15% от этой суммы. На второй работе в первый год его заработок составит 100 000 р. и затем ежегодно к нему будет добавляться 20% от предыдущего заработка.

а) Выпишите планируемый заработок в первый, второй и третий годы на каждой из этих работ.

б) На какой по счёту год заработок на второй работе превзойдёт заработок на первой работе?

в) Предположим, что дипломник планирует работать в одном месте не менее 10 лет. На какой из этих работ его суммарный заработок будет больше?

а) Выпишите планируемый заработок в первый, второй и третий годы на каждой из этих работ.

Для первой работы годовой заработок представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии $A_1 = 150\ 000$ р. Ежегодное увеличение составляет 15% от первоначальной суммы, то есть $150\ 000 \cdot 0.15 = 22\ 500$ р. Это разность арифметической прогрессии $d$.

Заработок в n-й год на первой работе: $A_n = A_1 + (n-1)d$.

• 1-й год: $A_1 = 150\ 000$ р.
• 2-й год: $A_2 = 150\ 000 + 22\ 500 = 172\ 500$ р.
• 3-й год: $A_3 = 172\ 500 + 22\ 500 = 195\ 000$ р.

Для второй работы годовой заработок представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член прогрессии $B_1 = 100\ 000$ р. Ежегодное увеличение составляет 20% от предыдущего заработка, значит, каждый год заработок умножается на $1 + 0.20 = 1.2$. Это знаменатель геометрической прогрессии $q$.

Заработок в n-й год на второй работе: $B_n = B_1 \cdot q^{n-1}$.

• 1-й год: $B_1 = 100\ 000$ р.
• 2-й год: $B_2 = 100\ 000 \cdot 1.2 = 120\ 000$ р.
• 3-й год: $B_3 = 120\ 000 \cdot 1.2 = 144\ 000$ р.

Ответ:
Первая работа: 1-й год — 150 000 р., 2-й год — 172 500 р., 3-й год — 195 000 р.
Вторая работа: 1-й год — 100 000 р., 2-й год — 120 000 р., 3-й год — 144 000 р.

б) На какой по счёту год заработок на второй работе превзойдёт заработок на первой работе?

Нам нужно найти наименьший номер года $n$, для которого выполняется неравенство $B_n > A_n$. Используем формулы для n-го члена каждой прогрессии:
$A_n = 150\ 000 + (n-1) \cdot 22\ 500$
$B_n = 100\ 000 \cdot (1.2)^{n-1}$
Неравенство: $100\ 000 \cdot (1.2)^{n-1} > 150\ 000 + (n-1) \cdot 22\ 500$.

Продолжим расчеты по годам, начатые в пункте а):

• 4-й год: $A_4 = 195\ 000 + 22\ 500 = 217\ 500$ р.; $B_4 = 144\ 000 \cdot 1.2 = 172\ 800$ р. ($A_4 > B_4$)
• 5-й год: $A_5 = 217\ 500 + 22\ 500 = 240\ 000$ р.; $B_5 = 172\ 800 \cdot 1.2 = 207\ 360$ р. ($A_5 > B_5$)
• 6-й год: $A_6 = 240\ 000 + 22\ 500 = 262\ 500$ р.; $B_6 = 207\ 360 \cdot 1.2 = 248\ 832$ р. ($A_6 > B_6$)
• 7-й год: $A_7 = 262\ 500 + 22\ 500 = 285\ 000$ р.; $B_7 = 248\ 832 \cdot 1.2 = 298\ 598.4$ р. ($B_7 > A_7$)

На 7-й год заработок на второй работе впервые превысит заработок на первой.

Ответ: На 7-й год.

в) Предположим, что дипломник планирует работать в одном месте не менее 10 лет. На какой из этих работ его суммарный заработок будет больше?

Нужно сравнить суммарный заработок за 10 лет для каждой работы. Это сумма первых 10 членов каждой прогрессии.

Для первой работы (арифметическая прогрессия) используем формулу суммы: $S_{A,n} = \frac{2A_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. При $n=10$:
$S_{A,10} = \frac{2 \cdot 150\ 000 + 22\ 500 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{300\ 000 + 22\ 500 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{300\ 000 + 202\ 500}{2} \cdot 10 = \frac{502\ 500}{2} \cdot 10 = 251\ 250 \cdot 10 = 2\ 512\ 500$ р.

Для второй работы (геометрическая прогрессия) используем формулу суммы: $S_{B,n} = B_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$. При $n=10$:
$S_{B,10} = 100\ 000 \cdot \frac{(1.2)^{10} - 1}{1.2 - 1}$.
Рассчитаем $1.2^{10} \approx 6.1917$.
$S_{B,10} = 100\ 000 \cdot \frac{6.1917 - 1}{0.2} = 100\ 000 \cdot \frac{5.1917}{0.2} = 100\ 000 \cdot 25.9585 = 2\ 595\ 850$ р.

Сравниваем суммарные заработки: $S_{A,10} = 2\ 512\ 500$ р.
$S_{B,10} = 2\ 595\ 850$ р.
$S_{B,10} > S_{A,10}$

Ответ: На второй работе суммарный заработок за 10 лет будет больше.