Страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

692 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Виктор внёс на несколько лет 5000 р. на счёт, по которому начисляется 18% годовых. Вычислите:

а) каким будет доход по вкладу за первый год;

б) каким будет доход по вкладу за пятый год.

Разберите решение, представленное ниже, и примените аналогичные рассуждения для ответа на вопрос «б».

Вычислить доход по вкладу, например, за третий год можно двумя способами.

1-й способ. Сначала определим, сколько будет на его счёте через два года: $5000 \cdot 1,18^2 = 6962$ (р.).

Теперь найдём доход, который он получит от этой суммы в следующем году: $6962 \cdot 0,18 = 1253,16$ (р.).

2-й способ. Определим, сколько будет на его счёте через 2 года и через 3 года, и найдём разницу:

$5000 \cdot 1,18^2 = 6962$ (р.).

$5000 \cdot 1,18^3 = 8215,16$ (р.).

$8215,16 - 6962 = 1253,16$ (р.).

а) каким будет доход по вкладу за первый год
Доход по вкладу за первый год рассчитывается как процент от первоначальной суммы. Процентная ставка составляет 18%, что в десятичной форме равно 0,18.
Первоначальная сумма вклада: $5000$ р.
Доход за первый год вычисляется по формуле:
$Доход = Сумма \cdot Процентная \ ставка$
$5000 \cdot 0,18 = 900$ (р.).
Ответ: 900 р.

б) каким будет доход по вкладу за пятый год
Для вычисления дохода за пятый год воспользуемся двумя способами, аналогичными тем, что приведены в условии задачи для расчета дохода за третий год. При начислении сложных процентов сумма на вкладе ежегодно увеличивается в $(1 + 0,18) = 1,18$ раза.

1-й способ:
Сначала определим, какая сумма будет на счёте к началу пятого года (то есть по окончании четырех лет). Эта сумма будет являться базой для начисления процентов за пятый год.
Сумма на счёте через 4 года: $S_4 = 5000 \cdot 1,18^4$.
$S_4 = 5000 \cdot 1,93877776 = 9693,8888$ (р.).
Теперь найдём доход за пятый год, который представляет собой 18% от суммы на начало пятого года (т.е. на конец четвертого).
Доход за 5-й год: $9693,8888 \cdot 0,18 \approx 1744,90$ (р.).

2-й способ:
Определим, какая сумма будет на счёте через 4 года и через 5 лет, и найдём разницу между этими суммами. Эта разница и будет доходом, начисленным за пятый год.
Сумма на счёте через 4 года: $S_4 = 5000 \cdot 1,18^4 \approx 9693,89$ (р.).
Сумма на счёте через 5 лет: $S_5 = 5000 \cdot 1,18^5 \approx 5000 \cdot 2,28775776 \approx 11438,79$ (р.).
Доход за 5-й год — это разница между суммой на конец пятого года и суммой на конец четвертого года:
Доход за 5-й год: $I_5 = S_5 - S_4 = 11438,79 - 9693,89 = 1744,90$ (р.).
Можно также провести вычисления без промежуточных округлений, что подтверждает эквивалентность двух способов:
$I_5 = S_5 - S_4 = 5000 \cdot 1,18^5 - 5000 \cdot 1,18^4 = 5000 \cdot 1,18^4 \cdot (1,18 - 1) = (5000 \cdot 1,18^4) \cdot 0,18 = S_4 \cdot 0,18$.
Ответ: 1744,90 р.

Решите задачу, используя какой-либо из способов рассуждения, разобранных в предыдущем упражнении (693–694).

693 Ольга вложила в банк 2000 р. под 10% годовых на 4 года. Определите:

а) какая сумма будет на счёте в конце каждого года;

б) чему будет равен годовой доход Ольги за каждый год из этих четырёх лет;

в) на сколько годовой доход за второй год больше дохода за первый; доход за третий год больше дохода за второй и т. д.

В данной задаче речь идет о вкладе со сложными процентами. Это означает, что проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на проценты, начисленные за предыдущие периоды (капитализация процентов).

Исходные данные: начальная сумма вклада ($S_0$) — 2000 р.; годовая процентная ставка ($p$) — 10% или 0,1 в долях; срок вклада — 4 года.

Формула для расчета суммы на счете в конце n-го года при сложных процентах: $S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n$, где $r$ — годовая процентная ставка в долях.

Рассчитаем сумму на счете в конце каждого из четырех лет.

Конец 1-го года:
Сумма на счете будет равна начальной сумме плюс начисленные за год проценты.
$S_1 = 2000 \cdot (1 + 0,1) = 2000 \cdot 1,1 = 2200$ р.

Конец 2-го года:
Проценты начисляются на новую сумму (2200 р.).
$S_2 = 2200 \cdot (1 + 0,1) = 2200 \cdot 1,1 = 2420$ р.
Или по общей формуле: $S_2 = 2000 \cdot (1,1)^2 = 2000 \cdot 1,21 = 2420$ р.

Конец 3-го года:
Проценты начисляются на сумму 2420 р.
$S_3 = 2420 \cdot (1 + 0,1) = 2420 \cdot 1,1 = 2662$ р.
Или по общей формуле: $S_3 = 2000 \cdot (1,1)^3 = 2000 \cdot 1,331 = 2662$ р.

Конец 4-го года:
Проценты начисляются на сумму 2662 р.
$S_4 = 2662 \cdot (1 + 0,1) = 2662 \cdot 1,1 = 2928,2$ р.
Или по общей формуле: $S_4 = 2000 \cdot (1,1)^4 = 2000 \cdot 1,4641 = 2928,2$ р.

Ответ: в конце 1-го года сумма составит 2200 р., в конце 2-го года — 2420 р., в конце 3-го года — 2662 р., в конце 4-го года — 2928,2 р.

Годовой доход — это сумма процентов, начисленных за соответствующий год. Он равен разнице между суммой на счете в конце текущего года и суммой на счете в конце предыдущего года.

Доход за 1-й год ($Д_1$):
Доход рассчитывается от начальной суммы 2000 р.
$Д_1 = S_1 - S_0 = 2200 - 2000 = 200$ р. (или $2000 \cdot 0,1 = 200$ р.)

Доход за 2-й год ($Д_2$):
Доход рассчитывается от суммы на начало второго года (2200 р.).
$Д_2 = S_2 - S_1 = 2420 - 2200 = 220$ р. (или $2200 \cdot 0,1 = 220$ р.)

Доход за 3-й год ($Д_3$):
Доход рассчитывается от суммы на начало третьего года (2420 р.).
$Д_3 = S_3 - S_2 = 2662 - 2420 = 242$ р. (или $2420 \cdot 0,1 = 242$ р.)

Доход за 4-й год ($Д_4$):
Доход рассчитывается от суммы на начало четвертого года (2662 р.).
$Д_4 = S_4 - S_3 = 2928,2 - 2662 = 266,2$ р. (или $2662 \cdot 0,1 = 266,2$ р.)

Ответ: годовой доход за 1-й год — 200 р., за 2-й год — 220 р., за 3-й год — 242 р., за 4-й год — 266,2 р.

Сравним годовые доходы, рассчитанные в пункте б).

Разница между доходом за 2-й и 1-й год:
$Д_2 - Д_1 = 220 - 200 = 20$ р.

Разница между доходом за 3-й и 2-й год:
$Д_3 - Д_2 = 242 - 220 = 22$ р.

Разница между доходом за 4-й и 3-й год:
$Д_4 - Д_3 = 266,2 - 242 = 24,2$ р.

Можно заметить, что каждый год разница в доходе увеличивается. Это происходит потому, что разница между доходами за соседние годы равна доходу за предыдущий год, умноженному на процентную ставку. Например, $Д_2 - Д_1 = Д_1 \cdot 0,1 = 200 \cdot 0,1 = 20$ р.

Ответ: доход за второй год больше дохода за первый на 20 р.; доход за третий год больше дохода за второй на 22 р.; доход за четвертый год больше дохода за третий на 24,2 р.

694 Новое ателье в первый год своей деятельности получило прибыль 400 тыс. р., а в течение следующих пяти лет его прибыль возрастала примерно на 50% в год.

a) Какую прибыль получило ателье за пятый год своей деятельности?

б) Какую прибыль получило ателье за все пять лет?

в) Какова была его среднегодовая прибыль?

Условия задачи описывают геометрическую прогрессию, так как прибыль ателье за каждый последующий год увеличивается в одно и то же число раз.

Определим параметры этой прогрессии:
Первый член прогрессии $b_1$ — это прибыль за первый год, которая составляет 400 тыс. р.
Прибыль ежегодно возрастала на 50%, следовательно, знаменатель прогрессии $q$ равен $1 + \frac{50}{100} = 1.5$.

а) Какую прибыль получило ателье за пятый год своей деятельности?

Прибыль за $n$-й год ($b_n$) в геометрической прогрессии вычисляется по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для нахождения прибыли за пятый год ($n=5$) подставим известные значения в формулу:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 400 \cdot (1.5)^4 = 400 \cdot 5.0625 = 2025$ тыс. р.
Ответ: 2025 тыс. р.

б) Какую прибыль получило ателье за все пять лет?

Общая прибыль за пять лет — это сумма первых пяти членов геометрической прогрессии ($S_5$).
Сумму $n$ членов можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Вычислим сумму для $n=5$:
$S_5 = \frac{400 \cdot (1.5^5 - 1)}{1.5 - 1} = \frac{400 \cdot (7.59375 - 1)}{0.5} = \frac{400 \cdot 6.59375}{0.5} = 5275$ тыс. р.
Альтернативно, можно сложить прибыли за каждый из пяти лет:
Год 1: 400 тыс. р.
Год 2: $400 \cdot 1.5 = 600$ тыс. р.
Год 3: $600 \cdot 1.5 = 900$ тыс. р.
Год 4: $900 \cdot 1.5 = 1350$ тыс. р.
Год 5: $1350 \cdot 1.5 = 2025$ тыс. р.
Общая сумма: $400 + 600 + 900 + 1350 + 2025 = 5275$ тыс. р.
Ответ: 5275 тыс. р.

в) Какова была его среднегодовая прибыль?

Среднегодовая прибыль находится делением общей прибыли за пять лет на количество лет (в данном случае 5).
Средняя прибыль = $\frac{S_5}{5} = \frac{5275}{5} = 1055$ тыс. р.
Ответ: 1055 тыс. р.

695 В течение 2015 г. в области произошло 640 дорожно-транспортных происшествий (ДТП). Благодаря мерам, принимаемым администрацией области, число аварий ежегодно уменьшается и составляет $75\%$ от числа аварий в предыдущем году. Определите:

а) сколько примерно ДТП может произойти в 2020 г., если эта тенденция сохранится;

б) сколько всего ДТП может произойти в области с 2015 по 2020 г. включительно.

Данная задача описывает последовательность, в которой количество ДТП ежегодно уменьшается. Эта последовательность является геометрической прогрессией. Определим ее ключевые параметры.

Первый член прогрессии, $b_1$, соответствует количеству ДТП в 2015 году, следовательно, $b_1 = 640$.

Поскольку количество аварий ежегодно составляет 75% от числа аварий в предыдущем году, знаменатель прогрессии $q$ равен $75\%$, или $q = 0.75$.

а) сколько примерно ДТП может произойти в 2020 г., если эта тенденция сохранится;

Нам необходимо определить прогнозируемое число ДТП на 2020 год. Период с 2015 по 2020 год охватывает 6 лет. Таким образом, 2015 год является первым членом прогрессии ($n=1$), а 2020 год — шестым членом ($n=6$).

Для вычисления n-го члена геометрической прогрессии применяется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения, чтобы найти количество ДТП в 2020 году ($b_6$):

$b_6 = 640 \cdot (0.75)^{6-1} = 640 \cdot (0.75)^5$

Для упрощения расчетов представим $0.75$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$:

$b_6 = 640 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 640 \cdot \frac{3^5}{4^5} = 640 \cdot \frac{243}{1024}$

Выполним вычисления, сократив дробь:

$b_6 = \frac{640 \cdot 243}{1024} = \frac{5 \cdot 128 \cdot 243}{8 \cdot 128} = \frac{5 \cdot 243}{8} = \frac{1215}{8} = 151.875$

Поскольку количество ДТП является целым числом, необходимо округлить полученное значение до ближайшего целого.

$151.875 \approx 152$

Ответ: примерно 152 ДТП.

б) сколько всего ДТП может произойти в области с 2015 по 2020 г. включительно.

Чтобы найти общее количество ДТП за период с 2015 по 2020 год, нужно рассчитать сумму первых шести членов ($S_6$) данной геометрической прогрессии.

Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит так: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Подставим наши данные ($b_1 = 640$, $q = 0.75$, $n = 6$):

$S_6 = \frac{640(1 - (0.75)^6)}{1 - 0.75}$

Проведем вычисления, используя дроби:

$S_6 = \frac{640(1 - (\frac{3}{4})^6)}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{640(1 - \frac{729}{4096})}{\frac{1}{4}}$

$S_6 = \frac{640(\frac{4096-729}{4096})}{\frac{1}{4}} = \frac{640 \cdot \frac{3367}{4096}}{\frac{1}{4}} = 640 \cdot \frac{3367}{4096} \cdot 4 = \frac{2560 \cdot 3367}{4096}$

Сократим полученную дробь:

$S_6 = \frac{5 \cdot 512 \cdot 3367}{8 \cdot 512} = \frac{5 \cdot 3367}{8} = \frac{16835}{8} = 2104.375$

Можно также проверить результат, сложив количество ДТП за каждый год (без округления промежуточных результатов):
2015: 640
2016: $640 \cdot 0.75 = 480$
2017: $480 \cdot 0.75 = 360$
2018: $360 \cdot 0.75 = 270$
2019: $270 \cdot 0.75 = 202.5$
2020: $202.5 \cdot 0.75 = 151.875$
Сумма: $640 + 480 + 360 + 270 + 202.5 + 151.875 = 2104.375$

Округлим итоговое значение до ближайшего целого числа.

$2104.375 \approx 2104$

Ответ: примерно 2104 ДТП.