Страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

669 При поступлении на работу будущий сотрудник был ознакомлен с условиями оплаты: в первый год его годовой заработок составит 120 000 р., а затем в каждый следующий год будет увеличиваться в 1,2 раза по сравнению с предыдущим. Сотрудник планирует проработать на этом месте не менее 10 лет. Сколько он заработает за 10 лет?

Данная задача описывает ситуацию, в которой годовой заработок сотрудника увеличивается по правилу геометрической прогрессии. Заработок в первый год является первым членом прогрессии, а коэффициент увеличения — её знаменателем. Чтобы найти общий заработок за 10 лет, нам нужно вычислить сумму первых 10 членов этой прогрессии.

Определим параметры геометрической прогрессии, исходя из условий задачи:
Первый член прогрессии (заработок за первый год) $b_1 = 120 000$ рублей.
Знаменатель прогрессии (коэффициент увеличения) $q = 1,2$.
Количество лет (число членов прогрессии) $n = 10$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле: $$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти суммарный заработок за 10 лет ($S_{10}$): $$ S_{10} = \frac{120 000 \cdot (1,2^{10} - 1)}{1,2 - 1} $$

Выполним вычисления по шагам.
1. Вычислим знаменатель дроби: $$ 1,2 - 1 = 0,2 $$
2. Теперь формула для $S_{10}$ упрощается: $$ S_{10} = \frac{120 000}{0,2} \cdot (1,2^{10} - 1) = 600 000 \cdot (1,2^{10} - 1) $$
3. Вычислим $1,2^{10}$: $$ 1,2^{10} \approx 6,1917364224 $$
4. Подставим это значение в наше выражение и найдем итоговую сумму: $$ S_{10} = 600 000 \cdot (6,1917364224 - 1) $$ $$ S_{10} = 600 000 \cdot 5,1917364224 $$ $$ S_{10} = 3 115 041,85344 $$

Поскольку результат представляет собой денежную сумму в рублях, его следует округлить до двух знаков после запятой (до копеек). $$ S_{10} \approx 3 115 041,85 \text{ рублей} $$

Ответ: за 10 лет сотрудник заработает 3 115 041,85 рублей.

670 Почтальон заметил, что за 5 дней до праздника число разносимых им писем увеличивается ежедневно в 1,5 раза. Сколько всего писем разнесёт почтальон за пять предпраздничных дней, если в первый из них он разнёс 32 письма?

Данная задача описывает геометрическую прогрессию, где каждый последующий член в 1,5 раза больше предыдущего. Нам необходимо найти сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Определим параметры геометрической прогрессии:

• Первый член прогрессии $b_1$ (количество писем в первый день) = 32.
• Знаменатель прогрессии $q$ (коэффициент увеличения) = 1,5.
• Количество членов прогрессии $n$ (число дней) = 5.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения в формулу, чтобы найти сумму писем за 5 дней ($S_5$):
$S_5 = \frac{32(1.5^5 - 1)}{1.5 - 1}$

Проведем вычисления. Для удобства можно представить $1.5$ как дробь $\frac{3}{2}$:
$1.5^5 = (\frac{3}{2})^5 = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32}$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу суммы:
$S_5 = \frac{32(\frac{243}{32} - 1)}{1.5 - 1} = \frac{32(\frac{243 - 32}{32})}{0.5} = \frac{32(\frac{211}{32})}{0.5}$

Сокращаем 32 в числителе:
$S_5 = \frac{211}{0.5}$

Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2:
$S_5 = 211 \times 2 = 422$

Таким образом, за пять предпраздничных дней почтальон разнесет 422 письма.

Ответ: 422 письма.

671 Из одинаковых кубиков строится две ступенчатые фигуры (рис. 4.16). В первом случае столбики растут равномерно, а во втором высота каждого следующего столбика удваивается по сравнению с высотой предыдущего. Сколько кубиков потребуется для каждой из фигур, если в них содержится: по 8 столбиков; по $n$ столбиков?

Рис. 4.16

Для решения задачи проанализируем каждую фигуру отдельно.

В первой фигуре столбики растут равномерно, то есть высота каждого следующего столбика на 1 кубик больше предыдущего. Их высоты образуют последовательность натуральных чисел: 1, 2, 3, ... . Общее количество кубиков в такой фигуре — это сумма членов арифметической прогрессии. Для фигуры из $n$ столбиков общее количество кубиков равно сумме $1 + 2 + \dots + n$. Эта сумма вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Во второй фигуре высота каждого следующего столбика удваивается по сравнению с предыдущим. Их высоты образуют последовательность: $1, 2, 4, 8, \dots$ (то есть $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots$). Общее количество кубиков в такой фигуре — это сумма членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = 2$. Сумма первых $n$ членов такой прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

Теперь вычислим количество кубиков для заданных условий.

672 Андрей и Борис выписывали английские слова из словаря в течение пяти дней (см. задачу 642 из п. 4.4). Сколько всего слов выписал каждый из них?

Для решения данной задачи необходимо обратиться к условиям задачи 642, на которую ссылается условие. В задаче 642 даны следующие параметры, которые мы будем использовать, заменив "упражнения" на "слова":

• Андрей выписывает $a$ слов в день.
• Борис выписывает на $b$ слов в день меньше, чем Андрей.
• В задаче 642 даны значения: $a = 15$, $b = 3$.

Работа по выписыванию слов продолжалась в течение 5 дней. Рассчитаем, сколько слов выписал каждый.

Сколько всего слов выписал Андрей

1. Определим количество слов, которые Андрей выписывал за один день. Согласно данным, это значение равно $a$.
$a = 15$ слов в день.

2. Чтобы найти общее количество слов за 5 дней, нужно умножить дневную норму на количество дней:
$15 \text{ слов/день} \times 5 \text{ дней} = 75$ слов.

Ответ: Андрей выписал 75 слов.

Сколько всего слов выписал Борис

1. Определим количество слов, которые Борис выписывал за один день. Он выписывал на $b$ слов меньше, чем Андрей, то есть $a - b$.
$15 - 3 = 12$ слов в день.

2. Чтобы найти общее количество слов за 5 дней, умножим дневную норму Бориса на количество дней:
$12 \text{ слов/день} \times 5 \text{ дней} = 60$ слов.

Ответ: Борис выписал 60 слов.

673 Вычислите:

а) $4 + 12 + 36 + \dots + 4 \cdot 3^9;$

б) $-3 - 6 - 12 - \dots - 3 \cdot 2^7;$

В) $1 - 2 + 4 - 8 + 16 - \dots - 2^9;$

Г) $3^0 - 3^1 + 3^2 - \dots + 3^{10}.$

а) Данная сумма $4 + 12 + 36 + ... + 4 \cdot 3^9$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 4$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{12}{4} = 3$. Общий вид члена прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}$. Последний член равен $4 \cdot 3^9$. Чтобы найти количество членов $n$ в сумме, приравняем общий член последнему: $4 \cdot 3^{n-1} = 4 \cdot 3^9$, откуда следует, что $n-1=9$, то есть $n=10$. Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим в нее найденные значения $b_1=4$, $q=3$ и $n=10$:$S_{10} = \frac{4(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{4(3^{10} - 1)}{2} = 2(3^{10} - 1)$.Вычислим значение $3^{10}$: $3^{10} = 59049$.Тогда сумма равна: $S_{10} = 2(59049 - 1) = 2 \cdot 59048 = 118096$.
Ответ: 118096

б) Сумма $-3 - 6 - 12 - ... - 3 \cdot 2^7$ является суммой членов геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = -3$. Знаменатель прогрессии $q$ равен: $q = \frac{-6}{-3} = 2$. Общий член прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -3 \cdot 2^{n-1}$. Последний член суммы равен $-3 \cdot 2^7$. Найдем количество членов $n$: $-3 \cdot 2^{n-1} = -3 \cdot 2^7$, откуда $n-1=7$ и $n=8$. Для вычисления суммы используем формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим значения $b_1=-3$, $q=2$ и $n=8$: $S_8 = \frac{-3(2^8 - 1)}{2 - 1} = -3(256 - 1) = -3 \cdot 255 = -765$.
Ответ: -765

в) Сумма $1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ... - 2^9$ является суммой членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-2}{1} = -2$. Общий член прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (-2)^{n-1}$. Последний член суммы равен $-2^9$. Найдем количество членов $n$: $(-2)^{n-1} = -2^9$. Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: $n-1=9$, откуда $n=10$. Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим значения $b_1=1$, $q=-2$ и $n=10$: $S_{10} = \frac{1 \cdot ((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1} = \frac{2^{10} - 1}{-3} = \frac{1024 - 1}{-3} = \frac{1023}{-3} = -341$.
Ответ: -341

г) Сумма $3^0 - 3^1 + 3^2 - ... + 3^{10}$ является суммой членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 3^0 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-3^1}{3^0} = \frac{-3}{1} = -3$. Общий член прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (-3)^{n-1}$. Последний член суммы равен $3^{10}$. Найдем количество членов $n$: $(-3)^{n-1} = 3^{10}$. Так как $(-3)^{n-1} = (-1)^{n-1} \cdot 3^{n-1}$, для равенства $3^{10}$ необходимо, чтобы $n-1$ было четным и равнялось 10. Отсюда $n-1=10$ и $n=11$. Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим значения $b_1=1$, $q=-3$ и $n=11$: $S_{11} = \frac{1 \cdot ((-3)^{11} - 1)}{-3 - 1} = \frac{-3^{11} - 1}{-4} = \frac{3^{11} + 1}{4}$. Вычислим $3^{11} = 3 \cdot 3^{10} = 177147$. Тогда сумма равна: $S_{11} = \frac{177147 + 1}{4} = \frac{177148}{4} = 44287$.
Ответ: 44287

674 Ниже приведена классическая задача, которая существует с самыми разными фабулами. Ситуация, описанная в данном случае, возникла в те времена, когда основным средством быстрой передачи информации на дальние расстояния был телеграф.

Телеграфистке поручено передать важную информацию трём другим телеграфисткам. Каждая из них, в свою очередь, должна передать сообщение трём другим телеграфисткам и т. д. На выполнение поручения у каждой телеграфистки уходит 6 мин. Сколько телеграфисток будет знать информацию через полчаса?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько циклов передачи информации произойдет за полчаса, и как будет расти количество людей, знающих информацию, на каждом цикле.

1. Определим количество циклов передачи информации.

Общее время составляет полчаса, что равно 30 минутам. Каждый цикл передачи (когда одна телеграфистка передает сообщение трем другим) занимает 6 минут.
Количество циклов (шагов) за 30 минут: $30 \text{ мин} \div 6 \text{ мин/шаг} = 5 \text{ шагов}$

2. Проанализируем, как растет число знающих телеграфисток.

Этот процесс представляет собой сумму членов геометрической прогрессии.

• В начальный момент (0 минут): 1 телеграфистка знает информацию.
• Шаг 1 (через 6 минут): Первая телеграфистка сообщает трем другим. Количество новых людей, узнавших информацию, равно 3. Общее число знающих: $1 + 3 = 4$ телеграфистки.
• Шаг 2 (через 12 минут): Каждая из 3-х новых телеграфисток сообщает еще трем. Количество новых людей: $3 \times 3 = 9$. Общее число знающих: $1 + 3 + 9 = 13$ телеграфисток.
• Шаг 3 (через 18 минут): Каждая из 9-ти новых телеграфисток сообщает еще трем. Количество новых людей: $9 \times 3 = 27$. Общее число знающих: $1 + 3 + 9 + 27 = 40$ телеграфисток.
• Шаг 4 (через 24 минуты): Каждая из 27-ми новых телеграфисток сообщает еще трем. Количество новых людей: $27 \times 3 = 81$. Общее число знающих: $1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$ телеграфистка.
• Шаг 5 (через 30 минут): Каждая из 81-й новой телеграфистки сообщает еще трем. Количество новых людей: $81 \times 3 = 243$. Общее число знающих: $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364$ телеграфистки.

3. Используем формулу суммы геометрической прогрессии.

Общее количество телеграфисток, знающих информацию, можно найти как сумму членов геометрической прогрессии: $S = 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$
Здесь первый член $b_1 = 1$, знаменатель прогрессии $q = 3$, а количество членов $n = 6$ (начальная телеграфистка плюс 5 шагов).
Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Подставим наши значения: $S_6 = \frac{1 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$

Ответ: Через полчаса информацию будут знать 364 телеграфистки.