Страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

b) Площадь какого по счету четырехугольника равна $6 \text{ см}^2$? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

12 см

Рис. 4.15

656 Сторона квадрата равна 12 см. Середины сторон квадрата являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. (рис. 4.15)

а) Площади первого, второго, третьего и т. д. квадратов образуют некоторую последовательность. Объясните, почему эта последовательность является геометрической прогрессией. Назовите несколько её членов. Запишите формулу $n$-го члена этой последовательности.

б) Запишите несколько членов последовательности, составленной из длин сторон квадратов. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Запишите формулу $n$-го члена этой последовательности.

а) Площади первого, второго, третьего и т. д. квадратов образуют некоторую последовательность. Объясните, почему эта последовательность является геометрической прогрессией. Назовите несколько её членов. Запишите формулу n-го члена этой последовательности.

Пусть $a_1$ — сторона первого квадрата, тогда его площадь $S_1 = a_1^2$. Согласно условию, $a_1 = 12$ см. Следовательно, площадь первого квадрата: $S_1 = 12^2 = 144$ см$^2$.

Вершины второго квадрата находятся в серединах сторон первого квадрата. Если сторона первого квадрата равна $a_1$, то отрезки от вершины первого квадрата до вершин второго квадрата по сторонам первого квадрата будут равны $a_1/2$. Сторона второго квадрата $a_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a_1/2$. По теореме Пифагора: $a_2^2 = \left(\frac{a_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{a_1}{2}\right)^2 = \frac{a_1^2}{4} + \frac{a_1^2}{4} = \frac{2a_1^2}{4} = \frac{a_1^2}{2}$. Следовательно, площадь второго квадрата $S_2 = a_2^2 = \frac{a_1^2}{2} = \frac{S_1}{2}$. $S_2 = \frac{144}{2} = 72$ см$^2$.

Аналогично, площадь третьего квадрата $S_3$ будет равна половине площади второго квадрата: $S_3 = \frac{S_2}{2} = \frac{72}{2} = 36$ см$^2$. Продолжая эту закономерность, площадь каждого последующего квадрата равна половине площади предыдущего квадрата.

Это означает, что отношение площади каждого члена последовательности к предыдущему члену является постоянным числом, равным $1/2$. По определению, последовательность, в которой отношение каждого члена к предыдущему является постоянным, называется геометрической прогрессией. Общий множитель (знаменатель прогрессии) $q = 1/2$.

Несколько членов последовательности площадей: $S_1 = 144$, $S_2 = 72$, $S_3 = 36$, $S_4 = 18$, $S_5 = 9$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $S_n = S_1 \cdot q^{n-1}$. Подставляя значения $S_1 = 144$ и $q = 1/2$, получаем: $S_n = 144 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Ответ:

б) Запишите несколько членов последовательности, составленной из длин сторон квадратов. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Запишите формулу n-го члена этой последовательности.

Длина стороны первого квадрата $a_1 = 12$ см.

Мы знаем из пункта а), что $a_2^2 = \frac{a_1^2}{2}$. Из этого следует, что $a_2 = \sqrt{\frac{a_1^2}{2}} = \frac{a_1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $a_2 = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Аналогично, $a_3 = \frac{a_2}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$ см.

Несколько членов последовательности длин сторон квадратов: $a_1 = 12$, $a_2 = 6\sqrt{2}$, $a_3 = 6$, $a_4 = 3\sqrt{2}$, $a_5 = 3$.

Отношение каждого члена этой последовательности к предыдущему равно $1/\sqrt{2}$: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{a_3}{a_2} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Так как это отношение постоянно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Формула $n$-го члена этой геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставляя значения $a_1 = 12$ и $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем: $a_n = 12 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$.

Ответ:

657 a) В геометрической прогрессии $(x_n)$ $x_{10} = \frac{1}{243}$, $q = \frac{1}{3}$. Найдите первый член этой прогрессии.

б) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_{12} = 32$, $q = -2$. Найдите первый член этой прогрессии.

а)

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $(x_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — номер члена.

По условию задачи нам даны десятый член прогрессии $x_{10} = \frac{1}{243}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$. Требуется найти $x_1$.

Подставим известные значения в формулу для $n=10$:
$x_{10} = x_1 \cdot q^{10-1}$
$\frac{1}{243} = x_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^9$

Чтобы найти $x_1$, выразим его из этого уравнения:
$x_1 = \frac{1}{243} \div \left(\frac{1}{3}\right)^9 = \frac{1}{243} \cdot 3^9$

Заметим, что $243$ это $3$ в пятой степени, то есть $243 = 3^5$. Подставим это в выражение:
$x_1 = \frac{1}{3^5} \cdot 3^9 = \frac{3^9}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$

Вычисляем значение: $x_1 = 81$.

Ответ: 81.

б)

Аналогично, для нахождения первого члена геометрической прогрессии $(b_n)$ используем ту же формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам даны двенадцатый член прогрессии $b_{12} = 32$ и знаменатель $q = -2$. Требуется найти $b_1$.

Подставим известные значения в формулу для $n=12$:
$b_{12} = b_1 \cdot q^{12-1}$
$32 = b_1 \cdot (-2)^{11}$

Вычислим $(-2)^{11}$. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным. $2^{11} = 2048$. Следовательно, $(-2)^{11} = -2048$.
$32 = b_1 \cdot (-2048)$

Теперь выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{32}{-2048} = -\frac{32}{2048}$

Сократим дробь. Для этого представим числитель и знаменатель как степени двойки: $32 = 2^5$ и $2048 = 2^{11}$.
$b_1 = -\frac{2^5}{2^{11}} = -2^{5-11} = -2^{-6} = -\frac{1}{2^6}$

Вычисляем значение: $b_1 = -\frac{1}{64}$.

Ответ: $-\frac{1}{64}$.

658 a) Известно два члена геометрической прогрессии ($y_n$): $y_3 = 25$ и $y_6 = -3125$. Найдите знаменатель прогрессии $q$ и выпишите все её члены с первого по шестой.

б) Известно два члена геометрической прогрессии ($b_n$): $b_2 = 10$ и $b_5 = 10^{-2}$. Выпишите все члены этой прогрессии с первого по пятый включительно.

а)

Дана геометрическая прогрессия $(y_n)$, для которой известны два члена: $y_3 = 25$ и $y_6 = -3125$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$, где $y_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Основываясь на этой формуле, запишем выражения для $y_3$ и $y_6$:
$y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2 = 25$
$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5 = -3125$

Для того чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второе равенство на первое:
$\frac{y_6}{y_3} = \frac{y_1 \cdot q^5}{y_1 \cdot q^2} = q^{5-2} = q^3$
Теперь подставим числовые значения:
$q^3 = \frac{-3125}{25} = -125$
Из этого уравнения находим $q$:
$q = \sqrt[3]{-125} = -5$

Теперь, зная знаменатель, найдем первый член прогрессии $y_1$, используя выражение для $y_3$:
$y_1 \cdot q^2 = 25$
$y_1 \cdot (-5)^2 = 25$
$y_1 \cdot 25 = 25$
$y_1 = 1$

Зная $y_1 = 1$ и $q = -5$, выпишем все члены прогрессии с первого по шестой:
$y_1 = 1$
$y_2 = y_1 \cdot q = 1 \cdot (-5) = -5$
$y_3 = y_2 \cdot q = -5 \cdot (-5) = 25$
$y_4 = y_3 \cdot q = 25 \cdot (-5) = -125$
$y_5 = y_4 \cdot q = -125 \cdot (-5) = 625$
$y_6 = y_5 \cdot q = 625 \cdot (-5) = -3125$

Ответ: знаменатель прогрессии $q = -5$; члены прогрессии с первого по шестой: 1, -5, 25, -125, 625, -3125.

б)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, для которой известны два члена: $b_2 = 10$ и $b_5 = 10^{-2}$.
Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Запишем выражения для $b_2$ и $b_5$:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 10$
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = 10^{-2} = 0.01$

Для нахождения знаменателя $q$, разделим второе равенство на первое:
$\frac{b_5}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q} = q^{4-1} = q^3$
Подставим числовые значения:
$q^3 = \frac{10^{-2}}{10} = 10^{-2-1} = 10^{-3} = \frac{1}{1000}$
Из этого уравнения находим $q$:
$q = \sqrt[3]{10^{-3}} = 10^{-1} = 0.1$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя выражение для $b_2$:
$b_1 \cdot q = 10$
$b_1 \cdot 0.1 = 10$
$b_1 = \frac{10}{0.1} = 100$

Теперь выпишем все члены этой прогрессии с первого по пятый включительно:
$b_1 = 100$
$b_2 = b_1 \cdot q = 100 \cdot 0.1 = 10$
$b_3 = b_2 \cdot q = 10 \cdot 0.1 = 1$
$b_4 = b_3 \cdot q = 1 \cdot 0.1 = 0.1$
$b_5 = b_4 \cdot q = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01$

Ответ: члены прогрессии с первого по пятый: 100, 10, 1, 0.1, 0.01.

659 a) Найдите знаменатель геометрической прогрессии $($b_n$), если известно два её члена: $$b_3 = 10^7$ и $$b_5 = 10^5$. Восстановите прогрессию с первого по пятый член включительно. Сколько решений у вас получилось?

б) Известно два члена геометрической прогрессии $($c_n$): $$c_4 = -48$ и $$c_8 = -768$. Выпишите все её члены с первого по шестой. Сколько решений у вас получилось?

а)

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии.

Также можно выразить один член прогрессии через другой по формуле: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

В условии даны члены прогрессии: $b_3 = 10^7$ и $b_5 = 10^5$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя связь между $b_5$ и $b_3$:

$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3}$

$b_5 = b_3 \cdot q^2$

Подставим известные значения в формулу:

$10^5 = 10^7 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{10^5}{10^7} = 10^{5-7} = 10^{-2} = \frac{1}{100}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$:

$q_1 = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}$

$q_2 = -\sqrt{\frac{1}{100}} = -\frac{1}{10}$

Поскольку существует два возможных значения знаменателя, задача имеет два решения. Восстановим прогрессию с первого по пятый член для каждого случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{10}$

Найдем первый член прогрессии $b_1$, используя известный член $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$10^7 = b_1 \cdot (\frac{1}{10})^2$

$10^7 = b_1 \cdot \frac{1}{100}$

$b_1 = 10^7 \cdot 100 = 10^9$

Теперь найдем первые пять членов прогрессии:

$b_1 = 10^9$

$b_2 = b_1 \cdot q = 10^9 \cdot \frac{1}{10} = 10^8$

$b_3 = b_2 \cdot q = 10^8 \cdot \frac{1}{10} = 10^7$

$b_4 = b_3 \cdot q = 10^7 \cdot \frac{1}{10} = 10^6$

$b_5 = b_4 \cdot q = 10^6 \cdot \frac{1}{10} = 10^5$

Первая возможная прогрессия: $10^9, 10^8, 10^7, 10^6, 10^5$.

Случай 2: $q = -\frac{1}{10}$

Найдем первый член прогрессии $b_1$:

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$10^7 = b_1 \cdot (-\frac{1}{10})^2$

$10^7 = b_1 \cdot \frac{1}{100}$

$b_1 = 10^7 \cdot 100 = 10^9$

Теперь найдем первые пять членов прогрессии:

$b_1 = 10^9$

$b_2 = b_1 \cdot q = 10^9 \cdot (-\frac{1}{10}) = -10^8$

$b_3 = b_2 \cdot q = -10^8 \cdot (-\frac{1}{10}) = 10^7$

$b_4 = b_3 \cdot q = 10^7 \cdot (-\frac{1}{10}) = -10^6$

$b_5 = b_4 \cdot q = -10^6 \cdot (-\frac{1}{10}) = 10^5$

Вторая возможная прогрессия: $10^9, -10^8, 10^7, -10^6, 10^5$.

Таким образом, у задачи два решения.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q$ равен $\frac{1}{10}$ или $-\frac{1}{10}$.
При $q = \frac{1}{10}$ прогрессия: $10^9, 10^8, 10^7, 10^6, 10^5$.
При $q = -\frac{1}{10}$ прогрессия: $10^9, -10^8, 10^7, -10^6, 10^5$.
Всего получилось 2 решения.

б)

Дано два члена геометрической прогрессии $(c_n)$: $c_4 = -48$ и $c_8 = -768$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу $c_m = c_k \cdot q^{m-k}$:

$c_8 = c_4 \cdot q^{8-4}$

$c_8 = c_4 \cdot q^4$

Подставим известные значения:

$-768 = -48 \cdot q^4$

Отсюда найдем $q^4$:

$q^4 = \frac{-768}{-48} = 16$

Уравнение $q^4 = 16$ имеет два действительных решения для $q$:

$q_1 = \sqrt[4]{16} = 2$

$q_2 = -\sqrt[4]{16} = -2$

Следовательно, задача имеет два решения. Найдем члены прогрессии с первого по шестой для каждого случая.

Случай 1: $q = 2$

Найдем первый член прогрессии $c_1$, используя $c_4$:

$c_4 = c_1 \cdot q^3$

$-48 = c_1 \cdot 2^3$

$-48 = c_1 \cdot 8$

$c_1 = \frac{-48}{8} = -6$

Выпишем члены с первого по шестой:

$c_1 = -6$

$c_2 = c_1 \cdot q = -6 \cdot 2 = -12$

$c_3 = c_2 \cdot q = -12 \cdot 2 = -24$

$c_4 = c_3 \cdot q = -24 \cdot 2 = -48$

$c_5 = c_4 \cdot q = -48 \cdot 2 = -96$

$c_6 = c_5 \cdot q = -96 \cdot 2 = -192$

Первая последовательность: $-6, -12, -24, -48, -96, -192$.

Случай 2: $q = -2$

Найдем первый член прогрессии $c_1$:

$c_4 = c_1 \cdot q^3$

$-48 = c_1 \cdot (-2)^3$

$-48 = c_1 \cdot (-8)$

$c_1 = \frac{-48}{-8} = 6$

Выпишем члены с первого по шестой:

$c_1 = 6$

$c_2 = c_1 \cdot q = 6 \cdot (-2) = -12$

$c_3 = c_2 \cdot q = -12 \cdot (-2) = 24$

$c_4 = c_3 \cdot q = 24 \cdot (-2) = -48$

$c_5 = c_4 \cdot q = -48 \cdot (-2) = 96$

$c_6 = c_5 \cdot q = 96 \cdot (-2) = -192$

Вторая последовательность: $6, -12, 24, -48, 96, -192$.

Таким образом, у задачи два решения.

Ответ: При $q=2$ члены прогрессии: $-6, -12, -24, -48, -96, -192$.
При $q=-2$ члены прогрессии: $6, -12, 24, -48, 96, -192$.
Всего получилось 2 решения.