Страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

ДЕЙСТВУЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ (639–641)

639 Выпишите следующие три члена геометрической прогрессии:

а) 2; 10; 50; ...;

б) 9; 3; 1; ...;

в) −1000; 100; −10; ...;

г) $\frac{1}{16}$; $-\frac{1}{8}$; $\frac{1}{4}$; ....

а)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$: 2; 10; 50; ...
Чтобы найти следующие члены геометрической прогрессии, необходимо сначала определить её знаменатель $q$. Знаменатель находится путем деления любого члена прогрессии на предыдущий.
Возьмем второй и первый члены: $b_2 = 10$, $b_1 = 2$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{2} = 5$.
Теперь, зная знаменатель, мы можем найти следующие три члена, последовательно умножая последний известный член на $q$. Последний известный член $b_3 = 50$.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 50 \cdot 5 = 250$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 250 \cdot 5 = 1250$.
Шестой член: $b_6 = b_5 \cdot q = 1250 \cdot 5 = 6250$.

Ответ: 250; 1250; 6250.

б)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$: 9; 3; 1; ...
Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя первый и второй члены: $b_1 = 9$, $b_2 = 3$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Последний известный член $b_3 = 1$. Найдем следующие три члена.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
Шестой член: $b_6 = b_5 \cdot q = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{27}$.

в)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$: -1000; 100; -10; ...
Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя первый и второй члены: $b_1 = -1000$, $b_2 = 100$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{100}{-1000} = -\frac{1}{10}$.
Последний известный член $b_3 = -10$. Найдем следующие три члена.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = -10 \cdot (-\frac{1}{10}) = 1$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 1 \cdot (-\frac{1}{10}) = -\frac{1}{10}$.
Шестой член: $b_6 = b_5 \cdot q = -\frac{1}{10} \cdot (-\frac{1}{10}) = \frac{1}{100}$.

Ответ: 1; $-\frac{1}{10}$; $\frac{1}{100}$.

г)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$: $\frac{1}{16}; -\frac{1}{8}; \frac{1}{4}; \ldots$
Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя первый и второй члены: $b_1 = \frac{1}{16}$, $b_2 = -\frac{1}{8}$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/8}{1/16} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} = -2$.
Последний известный член $b_3 = \frac{1}{4}$. Найдем следующие три члена.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{4} \cdot (-2) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -\frac{1}{2} \cdot (-2) = 1$.
Шестой член: $b_6 = b_5 \cdot q = 1 \cdot (-2) = -2$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$; 1; -2.

640 В геометрической прогрессии со знаменателем $11$ известен четвёртый член. Выпишите все предыдущие члены этой прогрессии: ...; $14\,641$; ... .

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. По условию задачи нам известны её знаменатель $q = 11$ и её четвёртый член $b_4 = 14641$.

Требуется найти все предыдущие члены прогрессии, то есть первый ($b_1$), второй ($b_2$) и третий ($b_3$) члены.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_{n-1} \cdot q$. Из этой формулы можно выразить предыдущий член через последующий: $b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$.

Используем эту формулу для последовательного нахождения членов прогрессии.

1. Найдём третий член прогрессии ($b_3$):
$b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{14641}{11} = 1331$

2. Найдём второй член прогрессии ($b_2$):
$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{1331}{11} = 121$

3. Найдём первый член прогрессии ($b_1$):
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{121}{11} = 11$

Таким образом, предыдущие члены прогрессии: 11, 121, 1331.

Проверим полученные результаты, вычислив члены прогрессии, начиная с первого:
$b_1 = 11$
$b_2 = b_1 \cdot q = 11 \cdot 11 = 121$
$b_3 = b_2 \cdot q = 121 \cdot 11 = 1331$
$b_4 = b_3 \cdot q = 1331 \cdot 11 = 14641$
Полученный четвёртый член совпадает с данным в условии, значит, расчёты верны.

Ответ: 11; 121; 1331.