Страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

653 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ Дана геометрическая прогрессия. Найдите её знаменатель и выпишите следующие три члена этой прогрессии:

а) $2; 2\sqrt{2}; 4; 4\sqrt{2}; ...;$

б) $5; \sqrt{5}; 1; \frac{\sqrt{5}}{5}; ...$

В каждом случае запишите формулу n-го члена этой прогрессии и найдите: 15-й член; 20-й член.

a)

Дана геометрическая прогрессия: $2; 2\sqrt{2}; 4; 4\sqrt{2}; ...$

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии ($q$) необходимо разделить любой член прогрессии на предыдущий. Возьмем второй член и первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Проверим это, используя другие члены: $\frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ и $\frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$. Знаменатель прогрессии $q = \sqrt{2}$.

Выпишем следующие три члена прогрессии, умножая каждый последующий член на знаменатель $q$: $b_5 = b_4 \cdot q = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$. $b_6 = b_5 \cdot q = 8 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. $b_7 = b_6 \cdot q = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$. Следующие три члена: $8, 8\sqrt{2}, 16$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данной прогрессии первый член $b_1 = 2$, а знаменатель $q = \sqrt{2}$. Запишем $\sqrt{2}$ как степень числа $2$: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$. $b_n = 2 \cdot (2^{1/2})^{n-1} = 2^1 \cdot 2^{(n-1)/2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $b_n = 2^{1 + \frac{n-1}{2}} = 2^{\frac{2}{2} + \frac{n-1}{2}} = 2^{\frac{2 + n - 1}{2}} = 2^{\frac{n+1}{2}}$. Формула $n$-го члена этой прогрессии: $b_n = 2^{\frac{n+1}{2}}$.

Найдем 15-й член ($b_{15}$) прогрессии, подставив $n=15$ в формулу $n$-го члена: $b_{15} = 2^{\frac{15+1}{2}} = 2^{\frac{16}{2}} = 2^8$. Вычислим $2^8$: $2^8 = 256$.

Найдем 20-й член ($b_{20}$) прогрессии, подставив $n=20$ в формулу $n$-го члена: $b_{20} = 2^{\frac{20+1}{2}} = 2^{\frac{21}{2}}$. $2^{\frac{21}{2}} = 2^{10 + \frac{1}{2}} = 2^{10} \cdot 2^{1/2} = 1024\sqrt{2}$.

Ответ: Знаменатель $q = \sqrt{2}$; следующие три члена: $8, 8\sqrt{2}, 16$; формула $n$-го члена: $b_n = 2^{\frac{n+1}{2}}$; 15-й член: $256$; 20-й член: $1024\sqrt{2}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия: $5; \sqrt{5}; 1; \frac{\sqrt{5}}{5}; ...$

Найдем знаменатель ($q$). Разделим второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Проверим это, используя другие члены: $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ и $\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Выпишем следующие три члена прогрессии: $b_5 = b_4 \cdot q = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$. $b_6 = b_5 \cdot q = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{25}$. $b_7 = b_6 \cdot q = \frac{\sqrt{5}}{25} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$. Следующие три члена: $\frac{1}{5}, \frac{\sqrt{5}}{25}, \frac{1}{25}$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данной прогрессии первый член $b_1 = 5$, а знаменатель $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Запишем $q$ как степень числа $5$: $q = \frac{5^{1/2}}{5^1} = 5^{1/2 - 1} = 5^{-1/2}$. Подставим значения в формулу: $b_n = 5 \cdot (5^{-1/2})^{n-1} = 5^1 \cdot 5^{-\frac{n-1}{2}}$. $b_n = 5^{1 - \frac{n-1}{2}} = 5^{\frac{2}{2} - \frac{n-1}{2}} = 5^{\frac{2 - (n-1)}{2}} = 5^{\frac{2 - n + 1}{2}} = 5^{\frac{3-n}{2}}$. Формула $n$-го члена этой прогрессии: $b_n = 5^{\frac{3-n}{2}}$.

Найдем 15-й член ($b_{15}$) прогрессии, подставив $n=15$ в формулу $n$-го члена: $b_{15} = 5^{\frac{3-15}{2}} = 5^{\frac{-12}{2}} = 5^{-6}$. $5^{-6} = \frac{1}{5^6} = \frac{1}{15625}$.

Найдем 20-й член ($b_{20}$) прогрессии, подставив $n=20$ в формулу $n$-го члена: $b_{20} = 5^{\frac{3-20}{2}} = 5^{\frac{-17}{2}}$. $5^{\frac{-17}{2}} = \frac{1}{5^{\frac{17}{2}}} = \frac{1}{5^{8 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{5^8 \cdot 5^{1/2}} = \frac{1}{5^8 \sqrt{5}}$. Вычислим $5^8$: $5^8 = (5^4)^2 = (625)^2 = 390625$. $b_{20} = \frac{1}{390625\sqrt{5}}$. Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $b_{20} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{390625\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{390625 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{1953125}$.

Ответ: Знаменатель $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$; следующие три члена: $\frac{1}{5}, \frac{\sqrt{5}}{25}, \frac{1}{25}$; формула $n$-го члена: $b_n = 5^{\frac{3-n}{2}}$; 15-й член: $\frac{1}{15625}$; 20-й член: $\frac{\sqrt{5}}{1953125}$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (654–656)

654 Дан треугольник, периметр которого равен 64 см. Середины сторон этого треугольника являются вершинами второго треугольника, середины сторон второго треугольника являются вершинами третьего треугольника и т. д. (рис. 4.13).

а) Найдите периметр восьмого треугольника.

б) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Пусть $P_n$ — периметр n-го треугольника. По условию, периметр первого треугольника $P_1 = 64$ см.

Вершины каждого последующего треугольника (начиная со второго) являются серединами сторон предыдущего треугольника. Такой треугольник, построенный на серединах сторон, называется срединным. Каждая сторона срединного треугольника является средней линией исходного треугольника и, по свойству средней линии, равна половине параллельной ей стороны. Следовательно, периметр срединного треугольника в два раза меньше периметра исходного треугольника.

Таким образом, периметры треугольников образуют последовательность, где каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего: $P_2 = \frac{1}{2} P_1$, $P_3 = \frac{1}{2} P_2$, и так далее. Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = P_1 = 64$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае формула для периметра n-го треугольника: $P_n = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

а) Найдите периметр восьмого треугольника.

Для нахождения периметра восьмого треугольника ($P_8$) подставим $n=8$ в выведенную формулу: $P_8 = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{8-1} = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7$.

Представим 64 как степень двойки: $64 = 2^6$. $P_8 = 2^6 \cdot \frac{1}{2^7} = \frac{2^6}{2^7} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: 0,5 см.

б) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Нам необходимо найти номер треугольника $n$, для которого $P_n = 4$ см. Подставим известные значения в формулу: $4 = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Разделим обе части на 64: $\frac{4}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Поскольку $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$. Подставим это в уравнение: $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $4 = n - 1$ $n = 4 + 1 = 5$.

Ответ: пятого.

655 Середины сторон прямоугольника соединили отрезками и получили ромб. Середины сторон ромба соединили отрезками и получили прямоугольник и т. д. (рис. 4.14). Чему равно отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей)?

а) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом — является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна $\frac{3}{4}$ $см^2$, то чему равна площадь исходного прямоугольника?

Рис. 4.13

Рис. 4.14

б) Площадь какого по счёту четырёхугольника равна $6$ $см^2$? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

12 см

Сначала определим, как соотносятся площади последовательных фигур. Пусть исходный прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь $S_1 = ab$.

При соединении середин сторон этого прямоугольника получается ромб. Диагонали этого ромба равны сторонам прямоугольника, то есть $d_1 = a$ и $d_2 = b$. Площадь ромба ($S_2$) равна половине произведения его диагоналей:

$S_2 = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}S_1$

Далее, соединяя середины сторон ромба, мы получаем новый прямоугольник ($S_3$). Его стороны параллельны диагоналям ромба и равны их половинам, то есть стороны нового прямоугольника равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$. Его площадь:

$S_3 = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4} = \frac{1}{2} S_2$

Таким образом, площадь каждой следующей фигуры в два раза меньше площади предыдущей. Это означает, что последовательность площадей фигур образует геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей) равно $\frac{1}{2}$.

а)

Определим тип восьмой фигуры. Последовательность фигур следующая:
1-я фигура — прямоугольник (нечетный номер).
2-я фигура — ромб (четный номер).
3-я фигура — прямоугольник (нечетный номер).
...
Фигуры с нечетными номерами — это прямоугольники, а с четными — ромбы. Поскольку 8 — это четное число, восьмой по счету четырехугольник является ромбом.

Теперь найдем площадь исходного прямоугольника. Площадь $n$-го члена геометрической прогрессии находится по формуле $S_n = S_1 \cdot q^{n-1}$.По условию, площадь восьмой фигуры $S_8 = \frac{3}{4}$ см², а знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Подставим известные значения в формулу:$S_8 = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^{8-1}$$\frac{3}{4} = S_1 \cdot (\frac{1}{2})^7$$\frac{3}{4} = S_1 \cdot \frac{1}{128}$

Выразим $S_1$:$S_1 = \frac{3}{4} \cdot 128 = 3 \cdot \frac{128}{4} = 3 \cdot 32 = 96$ см².

Ответ: восьмой четырехугольник — это ромб, а площадь исходного прямоугольника равна 96 см².

б)

Предположим, что в данном пункте речь идет о той же последовательности фигур, что и в пункте а), где площадь исходного прямоугольника $S_1 = 96$ см². Нам необходимо найти номер фигуры $n$, площадь которой $S_n$ равна 6 см².

Воспользуемся той же формулой геометрической прогрессии $S_n = S_1 \cdot q^{n-1}$:

$6 = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Найдем $(\frac{1}{2})^{n-1}$, разделив обе части уравнения на 96:$\frac{6}{96} = (\frac{1}{2})^{n-1}$$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$. Получаем уравнение:$(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Приравниваем показатели степени:$4 = n-1$$n = 5$

Итак, это пятый по счету четырехугольник. Так как номер 5 нечетный, эта фигура — прямоугольник.

Ответ: площадью 6 см² обладает пятый по счету четырехугольник, и это прямоугольник.