Страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

641 Запишите два предыдущих и два последующих члена геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $\frac{1}{5}$:

а) ...; 125; ...;

б) ...; $\frac{1}{5}$; ... .

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии.
Формула для нахождения следующего члена: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Формула для нахождения предыдущего члена: $b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$.
По условию задачи, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$.

а)

Дан член прогрессии, равный 125. Обозначим его как $b_n = 125$.

Чтобы найти два последующих члена, мы должны дважды умножить на знаменатель $q = \frac{1}{5}$:
Первый последующий член: $b_{n+1} = 125 \cdot \frac{1}{5} = 25$.
Второй последующий член: $b_{n+2} = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5$.

Чтобы найти два предыдущих члена, мы должны дважды разделить на знаменатель $q = \frac{1}{5}$ (что эквивалентно умножению на 5):
Первый предыдущий член: $b_{n-1} = \frac{125}{\frac{1}{5}} = 125 \cdot 5 = 625$.
Второй предыдущий член: $b_{n-2} = \frac{625}{\frac{1}{5}} = 625 \cdot 5 = 3125$.

Таким образом, искомый фрагмент прогрессии: ...; 3125; 625; 125; 25; 5; ...

Ответ: предыдущие члены: 3125, 625; последующие члены: 25, 5.

б)

Дан член прогрессии, равный $\frac{1}{5}$. Обозначим его как $b_n = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти два последующих члена, мы должны дважды умножить на знаменатель $q = \frac{1}{5}$:
Первый последующий член: $b_{n+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$.
Второй последующий член: $b_{n+2} = \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125}$.

Чтобы найти два предыдущих члена, мы должны дважды разделить на знаменатель $q = \frac{1}{5}$:
Первый предыдущий член: $b_{n-1} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}} = 1$.
Второй предыдущий член: $b_{n-2} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \cdot 5 = 5$.

Таким образом, искомый фрагмент прогрессии: ...; 5; 1; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{25}$; $\frac{1}{125}$; ...

Ответ: предыдущие члены: 5, 1; последующие члены: $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{125}$.

642 МОДЕЛИРУЕМ Андрей и Борис, готовясь к зачёту по английскому языку, каждый день с понедельника по пятницу выписывали слова из словаря. Андрей ежедневно увеличивал число выписываемых слов в геометрической прогрессии, а Борис — в арифметической.

a) Закончите заполнение таблицы, записав в соответствующие строки число слов, выписанных Андреем и Борисом в каждый из пяти дней.

б) Отметьте члены полученных последовательностей точками на координатной плоскости. Точки какой последовательности лежат на прямой, а какой — на экспоненте?

а)

Андрей увеличивал число выписываемых слов в геометрической прогрессии. Обозначим члены этой последовательности $b_n$, где $n$ — номер дня. Из условия, $b_1 = 16$ и $b_2 = 24$.Найдем знаменатель прогрессии $q$:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{16} = 1.5$Вычислим последующие члены прогрессии, умножая предыдущий член на $q$:$b_3 = b_2 \cdot q = 24 \cdot 1.5 = 36$$b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot 1.5 = 54$$b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot 1.5 = 81$Таким образом, Андрей выписывал 16, 24, 36, 54 и 81 слово.

Борис увеличивал число выписываемых слов в арифметической прогрессии. Обозначим члены этой последовательности $a_n$. Из условия, $a_1 = 16$ и $a_2 = 24$.Найдем разность прогрессии $d$:$d = a_2 - a_1 = 24 - 16 = 8$Вычислим последующие члены прогрессии, прибавляя к предыдущему члену $d$:$a_3 = a_2 + d = 24 + 8 = 32$$a_4 = a_3 + d = 32 + 8 = 40$$a_5 = a_4 + d = 40 + 8 = 48$Таким образом, Борис выписывал 16, 24, 32, 40 и 48 слов.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ:

б)

Чтобы определить, какая последовательность лежит на прямой, а какая на экспоненте, рассмотрим зависимость количества слов ($y$) от номера дня ($x$).

Последовательность Бориса является арифметической прогрессией. Формула ее n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив значения для Бориса, получаем: $y = 16 + (x-1) \cdot 8 = 16 + 8x - 8 = 8x + 8$. Это линейная функция вида $y=kx+b$. Точки, заданные такой функцией, лежат на одной прямой.

Последовательность Андрея является геометрической прогрессией. Формула ее n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив значения для Андрея, получаем: $y = 16 \cdot (1.5)^{x-1}$. Это экспоненциальная (показательная) функция вида $y=c \cdot a^k$. Точки, заданные такой функцией, лежат на кривой, которая называется экспонентой.

Ответ: Точки последовательности Бориса лежат на прямой, а точки последовательности Андрея — на экспоненте.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ (643–644)

643 Какая последовательность не является геометрической прогрессией:

1) $3; 6; 12; 24; 48;$

2) $-100; 10; -1; 0,1; -0,1;$

3) $30; 20; 10; 0; -10;$

4) $162; 54; 18; 6; 2?$

Для того чтобы определить, какая из последовательностей не является геометрической прогрессией, необходимо проверить для каждой из них выполнение основного свойства геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену постоянно. Это отношение $q$ называется знаменателем прогрессии ($q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$).

1) 3; 6; 12; 24; 48;

Вычислим отношения последовательных членов: $\frac{6}{3} = 2$; $\frac{12}{6} = 2$; $\frac{24}{12} = 2$; $\frac{48}{24} = 2$. Отношение постоянно и равно 2. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: является геометрической прогрессией.

2) –100; 10; –1; 0,1; –0,1;

Вычислим отношения последовательных членов: $\frac{10}{-100} = -0.1$; $\frac{-1}{10} = -0.1$; $\frac{0.1}{-1} = -0.1$; $\frac{-0.1}{0.1} = -1$. Отношения не являются постоянными, так как в конце получается $-1$, а не $-0.1$. Эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

3) 30; 20; 10; 0; –10;

Вычислим отношения последовательных членов: $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$; $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$. Уже здесь видно, что отношения не равны ($\frac{2}{3} \ne \frac{1}{2}$). Кроме того, наличие члена, равного нулю ($b_4 = 0$), за которым следует ненулевой член ($b_5 = -10$), противоречит определению геометрической прогрессии, так как отношение $\frac{b_5}{b_4} = \frac{-10}{0}$ не определено. Эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

4) 162; 54; 18; 6; 2;

Вычислим отношения последовательных членов: $\frac{54}{162} = \frac{1}{3}$; $\frac{18}{54} = \frac{1}{3}$; $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$; $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Отношение постоянно и равно $\frac{1}{3}$. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: является геометрической прогрессией.

Итак, мы установили, что последовательности под номерами 2 и 3 не являются геометрическими. Так как вопрос подразумевает выбор одного варианта, следует выбрать тот, который нарушает определение наиболее очевидным образом. Последовательность 3) является арифметической прогрессией, а также содержит нулевой член, за которым следует ненулевой, что делает вычисление знаменателя невозможным. Это более существенное отклонение от определения, чем несоответствие одного члена в последовательности 2).

Ответ: 3.

644 Запишите первые шесть членов геометрической прогрессии ($b_n$), если известно, что:

а) $b_1 = -4, q = \frac{1}{2}$;

б) $b_1 = 0,001, q = -10$.

В каждом случае задайте прогрессию с помощью рекуррентной формулы и запишите формулу n-го члена для этой прогрессии.

а) Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = -4$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

1. Найдём первые шесть членов прогрессии.
Каждый следующий член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего на знаменатель $q$.
$b_1 = -4$
$b_2 = b_1 \cdot q = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$
$b_3 = b_2 \cdot q = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$
$b_4 = b_3 \cdot q = -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$b_5 = b_4 \cdot q = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$
$b_6 = b_5 \cdot q = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}$
Таким образом, первые шесть членов прогрессии: -4, -2, -1, -1/2, -1/4, -1/8.

2. Зададим прогрессию с помощью рекуррентной формулы.
Рекуррентная формула задает член прогрессии через предыдущий. Для геометрической прогрессии она имеет вид $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Нужно также указать первый член.
$b_1 = -4$, $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{1}{2}$ или $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$.

3. Запишем формулу n-го члена.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставляя наши значения, получаем:
$b_n = -4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

Ответ: Первые шесть членов: -4, -2, -1, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{8}$. Рекуррентная формула: $b_1 = -4$, $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$. Формула n-го члена: $b_n = -4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

б) Дано: первый член геометрической прогрессии $b_1 = 0,001$ и знаменатель прогрессии $q = -10$.

1. Найдём первые шесть членов прогрессии.
$b_1 = 0,001$
$b_2 = b_1 \cdot q = 0,001 \cdot (-10) = -0,01$
$b_3 = b_2 \cdot q = -0,01 \cdot (-10) = 0,1$
$b_4 = b_3 \cdot q = 0,1 \cdot (-10) = -1$
$b_5 = b_4 \cdot q = -1 \cdot (-10) = 10$
$b_6 = b_5 \cdot q = 10 \cdot (-10) = -100$
Таким образом, первые шесть членов прогрессии: 0,001; -0,01; 0,1; -1; 10; -100.

2. Зададим прогрессию с помощью рекуррентной формулы.
Рекуррентная формула: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Для данного случая: $b_1 = 0,001$, $b_{n+1} = b_n \cdot (-10)$ или $b_{n+1} = -10b_n$.

3. Запишем формулу n-го члена.
Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставляя наши значения, получаем:
$b_n = 0,001 \cdot (-10)^{n-1}$.

Ответ: Первые шесть членов: 0,001; -0,01; 0,1; -1; 10; -100. Рекуррентная формула: $b_1 = 0,001$, $b_{n+1} = -10b_n$. Формула n-го члена: $b_n = 0,001 \cdot (-10)^{n-1}$.

645 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ Последовательность $(y_n)$ — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $y_8$ и $y_{11}$, если $y_1 = \frac{1}{81}$ и $q = 3$;

б) $y_6$ и $y_9$, если $y_1 = 256$ и $q = \frac{1}{2}$;

в) $y_7$ и $y_{10}$, если $y_1 = \frac{3}{8}$ и $q = -2$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$, где $y_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена последовательности.

а) Найдем $y_8$ и $y_{11}$, если $y_1 = \frac{1}{81}$ и $q = 3$.

Сначала найдем восьмой член прогрессии ($n=8$):
$y_8 = y_1 \cdot q^{8-1} = y_1 \cdot q^7$
Подставим известные значения $y_1$ и $q$:
$y_8 = \frac{1}{81} \cdot 3^7$
Так как $81 = 3^4$, можем упростить выражение:
$y_8 = \frac{1}{3^4} \cdot 3^7 = 3^{7-4} = 3^3 = 27$.

Теперь найдем одиннадцатый член прогрессии ($n=11$):
$y_{11} = y_1 \cdot q^{11-1} = y_1 \cdot q^{10}$
Подставим известные значения:
$y_{11} = \frac{1}{81} \cdot 3^{10} = \frac{1}{3^4} \cdot 3^{10} = 3^{10-4} = 3^6 = 729$.

Ответ: $y_8 = 27$ и $y_{11} = 729$.

б) Найдем $y_6$ и $y_9$, если $y_1 = 256$ и $q = \frac{1}{2}$.

Найдем шестой член прогрессии ($n=6$):
$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5$
Подставим известные значения $y_1$ и $q$:
$y_6 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^5$
Так как $256 = 2^8$, можем упростить выражение:
$y_6 = 2^8 \cdot \frac{1}{2^5} = \frac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3 = 8$.

Теперь найдем девятый член прогрессии ($n=9$):
$y_9 = y_1 \cdot q^{9-1} = y_1 \cdot q^8$
Подставим известные значения:
$y_9 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^8 = 2^8 \cdot \frac{1}{2^8} = 1$.

Ответ: $y_6 = 8$ и $y_9 = 1$.

в) Найдем $y_7$ и $y_{10}$, если $y_1 = \frac{3}{8}$ и $q = -2$.

Найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):
$y_7 = y_1 \cdot q^{7-1} = y_1 \cdot q^6$
Подставим известные значения $y_1$ и $q$:
$y_7 = \frac{3}{8} \cdot (-2)^6$
Так как $8 = 2^3$ и $(-2)^6 = 2^6$ (четная степень), упростим выражение:
$y_7 = \frac{3}{2^3} \cdot 2^6 = 3 \cdot 2^{6-3} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Теперь найдем десятый член прогрессии ($n=10$):
$y_{10} = y_1 \cdot q^{10-1} = y_1 \cdot q^9$
Подставим известные значения:
$y_{10} = \frac{3}{8} \cdot (-2)^9$
Так как $(-2)^9 = -2^9$ (нечетная степень), получим:
$y_{10} = \frac{3}{2^3} \cdot (-2^9) = - \frac{3 \cdot 2^9}{2^3} = -3 \cdot 2^{9-3} = -3 \cdot 2^6 = -3 \cdot 64 = -192$.

Ответ: $y_7 = 24$ и $y_{10} = -192$.