Страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

651 Маятник, раскачиваясь, прошёл сначала расстояние, равное 50 см (рис. 4.12), а затем каждое следующее движение — расстояние, составляющее 80% от предыдущего. Рассмотрите последовательность, составленную из расстояний, которые проходил маятник за каждое качание.

а) Объясните, почему эта последовательность является геометрической прогрессией, и выпишите её первые пять членов.

б) Отметьте найденные члены прогрессии точками на координатной плоскости.

в) Запишите формулу n-го члена для этой прогрессии.

Рис. 4.11

Рис. 4.12

а)

Последовательность расстояний, которые проходит маятник за каждое качание, является геометрической прогрессией. По определению, геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ($q$).

В данном случае, первый член последовательности ($b_1$) — это начальное расстояние, равное 50 см.
$b_1 = 50$

Каждое следующее расстояние составляет 80% от предыдущего. Чтобы найти 80% от числа, нужно умножить это число на 0,8. Таким образом, каждый следующий член последовательности равен предыдущему, умноженному на 0,8.
Это означает, что знаменатель прогрессии $q = 0,8$.

Поскольку каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число (0,8), эта последовательность является геометрической прогрессией.

Выпишем первые пять членов этой прогрессии:
Первый член: $b_1 = 50$ см
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 50 \cdot 0,8 = 40$ см
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = 40 \cdot 0,8 = 32$ см
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 32 \cdot 0,8 = 25,6$ см
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 25,6 \cdot 0,8 = 20,48$ см

Ответ: Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как каждое следующее расстояние, проходимое маятником, равно предыдущему, умноженному на постоянный коэффициент 0,8. Первые пять членов прогрессии: 50; 40; 32; 25,6; 20,48.

б)

Чтобы отметить найденные члены прогрессии на координатной плоскости, нужно построить точки с координатами $(n; b_n)$, где $n$ — номер качания (ось абсцисс), а $b_n$ — расстояние, пройденное за это качание (ось ординат).

Координаты первых пяти точек:

• Для первого качания ($n=1$): $(1; 50)$
• Для второго качания ($n=2$): $(2; 40)$
• Для третьего качания ($n=3$): $(3; 32)$
• Для четвертого качания ($n=4$): $(4; 25,6)$
• Для пятого качания ($n=5$): $(5; 20,48)$

Ответ: На координатной плоскости нужно отметить точки с координатами (1; 50), (2; 40), (3; 32), (4; 25,6), (5; 20,48).

в)

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — номер члена.

Для данной прогрессии мы имеем:
$b_1 = 50$
$q = 0,8$

Подставив эти значения в общую формулу, получим формулу для $n$-го члена этой прогрессии:
$b_n = 50 \cdot (0,8)^{n-1}$

Ответ: $b_n = 50 \cdot (0,8)^{n-1}$.

652 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Является ли геометрической или арифметической прогрессией последовательность, n-й член которой вычисляется по формуле:

а) $b_n = 2 \cdot 3^n$;

б) $b_n = 2 - 3n$;

в) $b_n = 2 - 3^n$;

г) $b_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$?

2) Запишите формулу n-го члена каждой последовательности и определите, является ли она арифметической или геометрической прогрессией:

а) последовательность натуральных степеней числа 2;

б) последовательность квадратов натуральных чисел;

в) последовательность натуральных чисел, кратных 5;

г) последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.

1) а)

Последовательность задана формулой $b_n = 2 \cdot 3^n$.

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$d = b_{n+1} - b_n = 2 \cdot 3^{n+1} - 2 \cdot 3^n = 2 \cdot 3^n \cdot 3 - 2 \cdot 3^n = 2 \cdot 3^n (3-1) = 4 \cdot 3^n$.

Так как разность $d$ зависит от $n$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 3^{n+1}}{2 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3$.

Так как отношение $q$ является постоянным числом ($q=3$), последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: геометрическая прогрессия.

1) б)

Последовательность задана формулой $b_n = 2 - 3n$.

Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:

$d = b_{n+1} - b_n = (2 - 3(n+1)) - (2 - 3n) = (2 - 3n - 3) - (2 - 3n) = -1 - 3n - 2 + 3n = -3$.

Разность является постоянным числом ($d=-3$), следовательно, это арифметическая прогрессия.

Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 - 3(n+1)}{2 - 3n} = \frac{-1-3n}{2-3n}$.

Отношение зависит от $n$, значит, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: арифметическая прогрессия.

1) в)

Последовательность задана формулой $b_n = 2 - 3^n$.

Проверим на арифметическую прогрессию:

$d = b_{n+1} - b_n = (2 - 3^{n+1}) - (2 - 3^n) = 2 - 3^{n+1} - 2 + 3^n = 3^n - 3^{n+1} = 3^n(1 - 3) = -2 \cdot 3^n$.

Разность зависит от $n$, значит, это не арифметическая прогрессия.

Проверим на геометрическую прогрессию. Вычислим несколько первых членов: $b_1 = 2-3^1 = -1$, $b_2 = 2-3^2 = -7$, $b_3 = 2-3^3 = -25$.

Найдем отношения: $\frac{b_2}{b_1} = \frac{-7}{-1} = 7$, а $\frac{b_3}{b_2} = \frac{-25}{-7} = \frac{25}{7}$. Отношения не равны, следовательно, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

1) г)

Последовательность задана формулой $b_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^n$.

Проверим на арифметическую прогрессию:

$d = b_{n+1} - b_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n+1} - 3 \cdot (\frac{1}{2})^n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^n \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot (\frac{1}{2})^n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^n (\frac{1}{2} - 1) = -\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})^n$.

Разность зависит от $n$, значит, это не арифметическая прогрессия.

Проверим на геометрическую прогрессию:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot (\frac{1}{2})^{n+1}}{3 \cdot (\frac{1}{2})^n} = \frac{(\frac{1}{2})^{n+1}}{(\frac{1}{2})^n} = \frac{1}{2}$.

Отношение является постоянным числом ($q = \frac{1}{2}$), следовательно, это геометрическая прогрессия.

Ответ: геометрическая прогрессия.

2) а)

Последовательность натуральных степеней числа 2: $2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^n, \dots$

Формула $n$-го члена этой последовательности: $a_n = 2^n$.

Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Найдем отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

$q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$.

Отношение постоянно и равно 2, значит, это геометрическая прогрессия.

Ответ: формула $n$-го члена $a_n = 2^n$; это геометрическая прогрессия.

2) б)

Последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, \dots, n^2, \dots$ или $1, 4, 9, 16, \dots$

Формула $n$-го члена этой последовательности: $a_n = n^2$.

Проверим на арифметическую прогрессию:

$d = a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$.

Разность зависит от $n$, значит, это не арифметическая прогрессия.

Проверим на геометрическую прогрессию:

$q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = (\frac{n+1}{n})^2 = (1 + \frac{1}{n})^2$.

Отношение зависит от $n$, значит, это не геометрическая прогрессия.

Ответ: формула $n$-го члена $a_n = n^2$; не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

2) в)

Последовательность натуральных чисел, кратных 5: $5, 10, 15, 20, \dots, 5n, \dots$

Формула $n$-го члена этой последовательности: $a_n = 5n$.

Проверим на арифметическую прогрессию:

$d = a_{n+1} - a_n = 5(n+1) - 5n = 5n + 5 - 5n = 5$.

Разность постоянна и равна 5, значит, это арифметическая прогрессия.

Ответ: формула $n$-го члена $a_n = 5n$; это арифметическая прогрессия.

2) г)

Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2. Выпишем несколько первых членов: $2, 7, 12, 17, \dots$

Первый член $a_1 = 2$. Каждый следующий член на 5 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=5$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Подставим наши значения: $a_n = 2 + 5(n-1) = 2 + 5n - 5 = 5n - 3$.

Проверим, является ли она арифметической прогрессией (хотя мы это уже установили):

$a_{n+1} - a_n = (5(n+1) - 3) - (5n - 3) = 5n + 5 - 3 - 5n + 3 = 5$.

Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.

Ответ: формула $n$-го члена $a_n = 5n - 3$; это арифметическая прогрессия.