Номер 651, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 651, страница 254.

651 Маятник, раскачиваясь, прошёл сначала расстояние, равное 50 см (рис. 4.12), а затем каждое следующее движение — расстояние, составляющее 80% от предыдущего. Рассмотрите последовательность, составленную из расстояний, которые проходил маятник за каждое качание.

а) Объясните, почему эта последовательность является геометрической прогрессией, и выпишите её первые пять членов.

б) Отметьте найденные члены прогрессии точками на координатной плоскости.

в) Запишите формулу n-го члена для этой прогрессии.

Рис. 4.11

Рис. 4.12

а)

Последовательность расстояний, которые проходит маятник за каждое качание, является геометрической прогрессией. По определению, геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ($q$).

В данном случае, первый член последовательности ($b_1$) — это начальное расстояние, равное 50 см.
$b_1 = 50$

Каждое следующее расстояние составляет 80% от предыдущего. Чтобы найти 80% от числа, нужно умножить это число на 0,8. Таким образом, каждый следующий член последовательности равен предыдущему, умноженному на 0,8.
Это означает, что знаменатель прогрессии $q = 0,8$.

Поскольку каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число (0,8), эта последовательность является геометрической прогрессией.

Выпишем первые пять членов этой прогрессии:
Первый член: $b_1 = 50$ см
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 50 \cdot 0,8 = 40$ см
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = 40 \cdot 0,8 = 32$ см
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 32 \cdot 0,8 = 25,6$ см
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 25,6 \cdot 0,8 = 20,48$ см

Ответ: Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как каждое следующее расстояние, проходимое маятником, равно предыдущему, умноженному на постоянный коэффициент 0,8. Первые пять членов прогрессии: 50; 40; 32; 25,6; 20,48.

б)

Чтобы отметить найденные члены прогрессии на координатной плоскости, нужно построить точки с координатами $(n; b_n)$, где $n$ — номер качания (ось абсцисс), а $b_n$ — расстояние, пройденное за это качание (ось ординат).

Координаты первых пяти точек:

• Для первого качания ($n=1$): $(1; 50)$
• Для второго качания ($n=2$): $(2; 40)$
• Для третьего качания ($n=3$): $(3; 32)$
• Для четвертого качания ($n=4$): $(4; 25,6)$
• Для пятого качания ($n=5$): $(5; 20,48)$

Ответ: На координатной плоскости нужно отметить точки с координатами (1; 50), (2; 40), (3; 32), (4; 25,6), (5; 20,48).

в)

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — номер члена.

Для данной прогрессии мы имеем:
$b_1 = 50$
$q = 0,8$

Подставив эти значения в общую формулу, получим формулу для $n$-го члена этой прогрессии:
$b_n = 50 \cdot (0,8)^{n-1}$

Ответ: $b_n = 50 \cdot (0,8)^{n-1}$.