Номер 645, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 645, страница 252.

645 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ Последовательность $(y_n)$ — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $y_8$ и $y_{11}$, если $y_1 = \frac{1}{81}$ и $q = 3$;

б) $y_6$ и $y_9$, если $y_1 = 256$ и $q = \frac{1}{2}$;

в) $y_7$ и $y_{10}$, если $y_1 = \frac{3}{8}$ и $q = -2$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$, где $y_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена последовательности.

а) Найдем $y_8$ и $y_{11}$, если $y_1 = \frac{1}{81}$ и $q = 3$.

Сначала найдем восьмой член прогрессии ($n=8$):
$y_8 = y_1 \cdot q^{8-1} = y_1 \cdot q^7$
Подставим известные значения $y_1$ и $q$:
$y_8 = \frac{1}{81} \cdot 3^7$
Так как $81 = 3^4$, можем упростить выражение:
$y_8 = \frac{1}{3^4} \cdot 3^7 = 3^{7-4} = 3^3 = 27$.

Теперь найдем одиннадцатый член прогрессии ($n=11$):
$y_{11} = y_1 \cdot q^{11-1} = y_1 \cdot q^{10}$
Подставим известные значения:
$y_{11} = \frac{1}{81} \cdot 3^{10} = \frac{1}{3^4} \cdot 3^{10} = 3^{10-4} = 3^6 = 729$.

Ответ: $y_8 = 27$ и $y_{11} = 729$.

б) Найдем $y_6$ и $y_9$, если $y_1 = 256$ и $q = \frac{1}{2}$.

Найдем шестой член прогрессии ($n=6$):
$y_6 = y_1 \cdot q^{6-1} = y_1 \cdot q^5$
Подставим известные значения $y_1$ и $q$:
$y_6 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^5$
Так как $256 = 2^8$, можем упростить выражение:
$y_6 = 2^8 \cdot \frac{1}{2^5} = \frac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3 = 8$.

Теперь найдем девятый член прогрессии ($n=9$):
$y_9 = y_1 \cdot q^{9-1} = y_1 \cdot q^8$
Подставим известные значения:
$y_9 = 256 \cdot (\frac{1}{2})^8 = 2^8 \cdot \frac{1}{2^8} = 1$.

Ответ: $y_6 = 8$ и $y_9 = 1$.

в) Найдем $y_7$ и $y_{10}$, если $y_1 = \frac{3}{8}$ и $q = -2$.

Найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):
$y_7 = y_1 \cdot q^{7-1} = y_1 \cdot q^6$
Подставим известные значения $y_1$ и $q$:
$y_7 = \frac{3}{8} \cdot (-2)^6$
Так как $8 = 2^3$ и $(-2)^6 = 2^6$ (четная степень), упростим выражение:
$y_7 = \frac{3}{2^3} \cdot 2^6 = 3 \cdot 2^{6-3} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Теперь найдем десятый член прогрессии ($n=10$):
$y_{10} = y_1 \cdot q^{10-1} = y_1 \cdot q^9$
Подставим известные значения:
$y_{10} = \frac{3}{8} \cdot (-2)^9$
Так как $(-2)^9 = -2^9$ (нечетная степень), получим:
$y_{10} = \frac{3}{2^3} \cdot (-2^9) = - \frac{3 \cdot 2^9}{2^3} = -3 \cdot 2^{9-3} = -3 \cdot 2^6 = -3 \cdot 64 = -192$.

Ответ: $y_7 = 24$ и $y_{10} = -192$.