Номер 649, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 649, страница 253.

649 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Ученик начальной школы решил в течение декабря копить деньги к Новому году. Действовать он решил следующим образом: 1 декабря положить в копилку 1 к., 2 декабря — 2 к., 3 декабря — 4 к. и т. д., ежедневно удваивая вкладываемую сумму.

1) Сможет ли он выполнить своё намерение? Сколько рублей ему пришлось бы положить в копилку 31 декабря?

2) Сколько рублей ему придётся положить в копилку 31 декабря, если он изменит свой план и будет ежедневно увеличивать вкладываемую сумму на 10 к.?

1) Сможет ли он выполнить своё намерение? Сколько рублей ему пришлось бы положить в копилку 31 декабря?

Первоначальный план ученика представляет собой геометрическую прогрессию, так как каждый день вкладываемая сумма умножается на одно и то же число (2). Сумма, которую нужно положить в копилку в n-й день декабря, вычисляется по формуле n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данном случае первый член прогрессии $b_1$ (сумма в первый день, 1 декабря) равен 1 копейке, а знаменатель прогрессии $q$ равен 2. Нам нужно найти сумму для 31 декабря, то есть 31-й член прогрессии ($n=31$).

Подставим значения в формулу:
$b_{31} = 1 \cdot 2^{31-1} = 2^{30}$ копеек.

Вычислим это значение:
$2^{10} = 1024$
$2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 = 1 073 741 824$ копеек.

Теперь переведём эту сумму в рубли, зная, что в 1 рубле 100 копеек:
$1 073 741 824 \text{ к.} = \frac{1 073 741 824}{100} = 10 737 418,24$ рублей.

Сумма в 10 737 418,24 рублей (более десяти миллионов рублей) является нереалистичной для ученика начальной школы. Следовательно, выполнить своё намерение он не сможет.

Ответ: Нет, ученик не сможет выполнить своё намерение, так как 31 декабря ему пришлось бы положить в копилку 10 737 418,24 рублей.

2) Сколько рублей ему придётся положить в копилку 31 декабря, если он изменит свой план и будет ежедневно увеличивать вкладываемую сумму на 10 к.?

Изменённый план представляет собой арифметическую прогрессию, так как каждый день сумма вклада увеличивается на одну и ту же величину (10 копеек). Сумма, которую нужно положить в n-й день, вычисляется по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Здесь первый член $a_1$ (сумма 1 декабря) равен 1 копейке, а разность прогрессии $d$ равна 10 копейкам. Нам нужно найти сумму для 31 декабря ($n=31$).

Подставим значения в формулу:
$a_{31} = 1 + (31-1) \cdot 10 = 1 + 30 \cdot 10 = 1 + 300 = 301$ копейка.

Переведём эту сумму в рубли:
$301 \text{ к.} = \frac{301}{100} = 3,01$ рубля.

Ответ: 3,01 рубля.