Номер 653, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 653, страница 255.

653 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ Дана геометрическая прогрессия. Найдите её знаменатель и выпишите следующие три члена этой прогрессии:

а) $2; 2\sqrt{2}; 4; 4\sqrt{2}; ...;$

б) $5; \sqrt{5}; 1; \frac{\sqrt{5}}{5}; ...$

В каждом случае запишите формулу n-го члена этой прогрессии и найдите: 15-й член; 20-й член.

a)

Дана геометрическая прогрессия: $2; 2\sqrt{2}; 4; 4\sqrt{2}; ...$

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии ($q$) необходимо разделить любой член прогрессии на предыдущий. Возьмем второй член и первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Проверим это, используя другие члены: $\frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ и $\frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$. Знаменатель прогрессии $q = \sqrt{2}$.

Выпишем следующие три члена прогрессии, умножая каждый последующий член на знаменатель $q$: $b_5 = b_4 \cdot q = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$. $b_6 = b_5 \cdot q = 8 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. $b_7 = b_6 \cdot q = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$. Следующие три члена: $8, 8\sqrt{2}, 16$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данной прогрессии первый член $b_1 = 2$, а знаменатель $q = \sqrt{2}$. Запишем $\sqrt{2}$ как степень числа $2$: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$. $b_n = 2 \cdot (2^{1/2})^{n-1} = 2^1 \cdot 2^{(n-1)/2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $b_n = 2^{1 + \frac{n-1}{2}} = 2^{\frac{2}{2} + \frac{n-1}{2}} = 2^{\frac{2 + n - 1}{2}} = 2^{\frac{n+1}{2}}$. Формула $n$-го члена этой прогрессии: $b_n = 2^{\frac{n+1}{2}}$.

Найдем 15-й член ($b_{15}$) прогрессии, подставив $n=15$ в формулу $n$-го члена: $b_{15} = 2^{\frac{15+1}{2}} = 2^{\frac{16}{2}} = 2^8$. Вычислим $2^8$: $2^8 = 256$.

Найдем 20-й член ($b_{20}$) прогрессии, подставив $n=20$ в формулу $n$-го члена: $b_{20} = 2^{\frac{20+1}{2}} = 2^{\frac{21}{2}}$. $2^{\frac{21}{2}} = 2^{10 + \frac{1}{2}} = 2^{10} \cdot 2^{1/2} = 1024\sqrt{2}$.

Ответ: Знаменатель $q = \sqrt{2}$; следующие три члена: $8, 8\sqrt{2}, 16$; формула $n$-го члена: $b_n = 2^{\frac{n+1}{2}}$; 15-й член: $256$; 20-й член: $1024\sqrt{2}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия: $5; \sqrt{5}; 1; \frac{\sqrt{5}}{5}; ...$

Найдем знаменатель ($q$). Разделим второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Проверим это, используя другие члены: $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ и $\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Выпишем следующие три члена прогрессии: $b_5 = b_4 \cdot q = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$. $b_6 = b_5 \cdot q = \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{25}$. $b_7 = b_6 \cdot q = \frac{\sqrt{5}}{25} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$. Следующие три члена: $\frac{1}{5}, \frac{\sqrt{5}}{25}, \frac{1}{25}$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данной прогрессии первый член $b_1 = 5$, а знаменатель $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Запишем $q$ как степень числа $5$: $q = \frac{5^{1/2}}{5^1} = 5^{1/2 - 1} = 5^{-1/2}$. Подставим значения в формулу: $b_n = 5 \cdot (5^{-1/2})^{n-1} = 5^1 \cdot 5^{-\frac{n-1}{2}}$. $b_n = 5^{1 - \frac{n-1}{2}} = 5^{\frac{2}{2} - \frac{n-1}{2}} = 5^{\frac{2 - (n-1)}{2}} = 5^{\frac{2 - n + 1}{2}} = 5^{\frac{3-n}{2}}$. Формула $n$-го члена этой прогрессии: $b_n = 5^{\frac{3-n}{2}}$.

Найдем 15-й член ($b_{15}$) прогрессии, подставив $n=15$ в формулу $n$-го члена: $b_{15} = 5^{\frac{3-15}{2}} = 5^{\frac{-12}{2}} = 5^{-6}$. $5^{-6} = \frac{1}{5^6} = \frac{1}{15625}$.

Найдем 20-й член ($b_{20}$) прогрессии, подставив $n=20$ в формулу $n$-го члена: $b_{20} = 5^{\frac{3-20}{2}} = 5^{\frac{-17}{2}}$. $5^{\frac{-17}{2}} = \frac{1}{5^{\frac{17}{2}}} = \frac{1}{5^{8 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{5^8 \cdot 5^{1/2}} = \frac{1}{5^8 \sqrt{5}}$. Вычислим $5^8$: $5^8 = (5^4)^2 = (625)^2 = 390625$. $b_{20} = \frac{1}{390625\sqrt{5}}$. Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $b_{20} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{390625\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{390625 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{1953125}$.

Ответ: Знаменатель $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$; следующие три члена: $\frac{1}{5}, \frac{\sqrt{5}}{25}, \frac{1}{25}$; формула $n$-го члена: $b_n = 5^{\frac{3-n}{2}}$; 15-й член: $\frac{1}{15625}$; 20-й член: $\frac{\sqrt{5}}{1953125}$.